最长不下降子序列

这里写图片描述

分析:
在考场上的思路是对的:
D的范围很小,所以总有循环的一天,
这样我们处理出循环节,
需要注意的是,循环节不一定从1开始
比如说:1 4 2 5 3 2 5 3 循环节从第3位开始
我在考场上把序列缩到:不循环部分+一个循环节
长度设为n
在序列上做最长不下降子序列,
至于之后的循环节,他们对答案都可以贡献1

然而挂的很惨

看了一下大佬的ac程序
ta的n是这样的:
这里写图片描述
(我天,这么大,然而人家A了,你能说什么呢。。。)

好吧,n最大上了万位,
求最长不降只能用nlongn
然而我这个zz连最长不降nlogn都jj

看一下大佬优美的写法

int le=1;
f[1]=a[1];
for (i=2;i<=n;i++)
{
    if (a[i]>=f[le]) f[++le]=a[i];   //直接接上
    else  f[upper_bound(f+1,f+1+le,a[i])-f]=a[i];
    //upper_bound  >的第一个数 
}
return le;

%%%

最后要注意在%剩的余数中,也有可能对ans贡献1

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

ll nn;
int A,B,C,D,t;
int p[1000010],beg,xh,n;
ll a[1000010],f[1000010];

void doit()  //nlongn
{
    int i,j;
    ll ans=0;
    int le=1;
    f[1]=a[1];
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]>=f[le]) f[++le]=a[i];   //直接接上
        else  f[upper_bound(f+1,f+1+le,a[i])-f]=a[i];
        //upper_bound  >的第一个数 
    }
    if (n==nn)
    {
        printf("%d",le);    
        return;
    } 
    ans=(ll)le+(nn-n)/xh;
    int r=(nn-n)%xh;  //不构成循环的一小部分 
    if (r)
        for (i=0;i<r;i++)
            if (a[beg+r]>=f[le])  //f[le]是长度为le的最小结尾 
            {
                ans++;
                break;
            } 
    printf("%lld",ans);
}

void cl()
{
    memset(p,0,sizeof(p));
    int i,j;
    int x=t;
    p[t]=1;   //出现的位置 
    a[1]=t;
    for (i=2;i<=nn;i++)
    {
        x=A*x*x+B*x+C;
        x%=D;
        if (p[x]) 
        {
            n=i-1;
            beg=p[x];  //循环开始的地方 
            xh=i-p[x];
            break;
        }
        p[x]=i;
        a[i]=x;
    }
    n=xh*(xh<beg-1 ? beg-1:xh)+beg-1;  //循环部分:不循环部分  乘上较长的部分 
    if (n>nn) n=nn;
    for (i=beg+xh;i<=n;i++) a[i]=a[i-xh];
    for (int i=1;i<=beg+xh;i++) printf("%d ",a[i]);
    puts("");
    doit();
}

int main()
{
    //freopen("lis.in","r",stdin);  
    //freopen("lis.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&nn);
    scanf("%d%d%d%d%d",&t,&A,&B,&C,&D);
    if (nn==1) printf("1\n");
    else cl();
    return 0;
}
### 关于蓝桥杯竞赛中最长下降子序列的解法 最长下降子序列问题是经典的动态规划问题之一,在蓝桥杯竞赛中有较多涉及。以下是针对该问题的具体解题思路和实现方法。 #### 1. 动态规划的核心思想 对于最长下降子序列(Longest Non-decreasing Subsequence, LNDS),可以通过定义一个数组 `dp[]` 来记录以每个位置结尾的最长下降子序列长度。设输入序列为 `arr[n]`,则状态转移方程为: \[ dp[i] = \max(dp[j]) + 1 \quad (0 \leq j < i \text{ and } arr[j] \leq arr[i]) \] 其中 \( dp[i] \) 表示以第 \(i\) 个元素结尾的最长下降子序列长度[^2]。 最终的结果即为整个数组中的最大值 \( \max(dp[]) \)[^2]。 --- #### 2. 时间复杂度分析 朴素的动态规划解决方案的时间复杂度为 \(O(n^2)\),因为需要两层嵌套循环来计算每一个 \(dp[i]\) 的值。然而,通过引入二分查找技术,可以将时间复杂度降低到 \(O(n\log n)\)[^2]。 改进后的核心思想是维护一个单调递增的辅助数组 `tail[]`,并利用二分查找更新这个数组的内容。具体过程如下: - 初始化 `tail[0] = arr[0]`; - 对于后续的每个元素 \(arr[i]\),如果它大于当前 `tail` 数组的最大值,则将其追加至 `tail` 后面;否则,找到第一个比 \(arr[i]\) 大的位置,并替换掉那个位置上的值。 这种方法仅能够高效解决最长下降子序列问题,还适用于其他类似的变种问题。 --- #### 3. 实现代码示例 下面是基于 C++ 和 Python 的两种实现方式: ##### **C++ 实现** ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int computeLNDS(vector<int> &arr){ vector<int> tail; for(auto num : arr){ auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), num); if(it == tail.end()) { tail.push_back(num); // 如果找到合适的插入点,则扩展尾部 } else{ *it = num; // 替换已有的较大值 } } return tail.size(); // 返回结果为 tail 的大小 } int main(){ int n; cin >> n; vector<int> arr(n); for(int &num : arr) cin >> num; cout << computeLNDS(arr) << endl; } ``` ##### **Python 实现** ```python from bisect import bisect_left def compute_LNDS(arr): tail = [] for num in arr: idx = bisect_left(tail, num) if idx == len(tail): tail.append(num) # 扩展尾部 else: tail[idx] = num # 替换已有较大的值 return len(tail) if __name__ == "__main__": n = int(input()) arr = list(map(int, input().split())) print(compute_LNDS(arr)) ``` 以上代码均采用了 \(O(n\log n)\) 的优化策略。 --- #### 4. 进一步思考与优化建议 尽管上述方法已经非常高效,但在某些特殊场景下仍需注意以下几点: - 当数据规模特别大时,应考虑内存占用以及 I/O 效率的影响。 - 若题目要输出具体的子序列而非仅限长度,则需要额外保存路径信息以便回溯重建结果。 ---
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