9、加权传感器覆盖问题的近似算法研究

加权传感器覆盖问题的近似算法研究

在传感器网络领域，加权传感器覆盖问题是一个重要的研究方向。它旨在找到一组传感器，以最小的总权重覆盖所有目标点。本文将介绍几种解决该问题的近似算法，包括双分区法和基于拼图思想的算法。

1. 预备知识：单元目标划分引理

考虑一个单元 $e$，设 $H$ 和 $V$ 分别为一个水平条带和一个垂直条带，且 $H ∩ V = e$。设 $A(e)$ 是位于单元 $e$ 内的目标集合，$S$ 是 $A(e)$ 的传感器覆盖集，假设 $S$ 中的所有传感器都位于单元 $e$ 之外。根据引理 6.2.13，$A(e)$ 可以被划分为两部分 $A_h(e)$ 和 $A_v(e)$，使得：
- $A_h(e)$ 由 $S_h(e) = S \ H$ 覆盖。
- $A_v(e)$ 由 $S_v(e) = S \ V$ 覆盖。

2. 双分区法：6 - 近似算法

双分区法是一种有效的解决加权传感器覆盖问题的方法，它通过两次分区操作，将问题分解为更小的子问题，从而提高近似性能。

2.1 双分区过程

• 第一次分区 ：将所有目标点放入一个正方形中，然后将该正方形划分为多个小块，每个小块是边长为 $\ell\sqrt{2}/2$ 的小正方形。
• 第二次分区 ：将每个小块进一步划分为更小的单元，每个单元的边长为 $\sqrt{2}/2$。

双分区的优势在于第二次分区。当 $\ell$ 固定时，每个小块包含的单元数量是固定的，因此可以在多项式时间内枚举不同