uva10617回文子序列数量动态规划-优快云博客

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该博客介绍了如何计算一个给定字符串（长度小于等于60）的回文子序列数量。采用区间动态规划（DP）的方法，初始化单个字符为回文子序列，相邻字符相同则有3种情况，不同则只有2种。状态转移方程考虑了字符相等和不等的情况，最后输出区间[1,n]的最大贡献即为回文子序列数量。

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题目

给定一个字符串（len<=60），求回文子序列数量

解题思路

区间DP，dp[i][j]表示区间[i,n]的回文子序列数量。

初始化

memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int i = 1; i <= n; i++)
    dp[i][i] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
    dp[i][i + 1] = (s[i] == s[i + 1] ? 3 : 2);

状态转移：
如果 $s [l] = = s [r]$ ， $d p [l] [r] = d p [l + 1] [r] + d p [l] [r - 1] - d p [l + 1] [r - 1] + d p [l + 1] [r - 1] + 1$ ;

理解：对于区间 $[l, r]$ ，小于这个区间的回文子序列依然存在，也就是 $d p [l + 1] [r] + d p [l] [r - 1] - d p [l + 1] [r - 1]$ ，另外，区间 $[l + 1, r - 1]$ 里边的所有回文子序列，在两边同时加上 $s [l] / s [r]$ ，会产生新的 $d p [l + 1] [r - 1]$ 个回文子序列，最后还需要算上 $s [l] s [r]$ 这两个字符组成的回文子序列。

如果 $s [l]! = s [r]$ ， $d p [l] [r] = d p [l + 1] [r] + d p [l] [r - 1] - d p [l + 1] [r - 1]$ ;

显然，不会有新增的贡献。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long dp[65][65]; //dp[i][j]表示区间[i,j]的最大贡献
char s[1010];

void solve()
{
    scanf("%s", s + 1);
    int n = strlen(s + 1);
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        dp[i][i] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        dp[i][i + 1] = (s[i] == s[i + 1] ? 3 : 2);
    for (int len = 3; len <= n; len++)
    {
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++)
        {
            int r = l + len - 1;
            if (s[l] == s[r])
                dp[l][r] = dp[l + 1][r] + dp[l][r - 1] - dp[l + 1][r - 1] + dp[l + 1][r - 1] + 1;
            else
                dp[l][r] = dp[l + 1][r] + dp[l][r - 1] - dp[l + 1][r - 1];
        }
    }
    cout << dp[1][n] << endl;
}
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
    return 0;
}