高数下学习笔记

想了想还是写篇博客记录一下吧，都期末了，刚开始学… …

第一章 向量代数与空间解析几何

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1.1 向量及其线性运算

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向量:有大小和方向的量称为向量（矢量）
单位向量：模为1的向量，记作$\vec{e}$
零向量：模为0的向量，记作$\vec{0}$
相等向量：若向量$\vec{a}$，$\vec{b}$方向相同，模相等，则$\vec{a}$与$\vec{b}$相等，记作$\vec{a}=\vec{b}$
平行（共线）向量：若向量$a$，$b$方向相同或相反，则$\vec{a}$与$\vec{b}$平行，记作$\vec{a}//\vec{b}$
负向量：若$\vec{a}$，$\vec{b}$大小相同，方向相反，则称$\vec{a}$为$\vec{b}$的负向量
tips：零向量与任何向量平行
向量的加法：平行四边形法则、三角形法则（首尾相连）

1.2 空间直角坐标系与向量坐标

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在空间直角坐标系中，任意向量都可用OM（M为空间中一点）表示，通常用$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$表示x、y、z轴方向上的单位向量
利用坐标做向量的线性运算：设$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$，$\vec{b}=（b_x,b_y,b_z)$，$\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$
平行向量对应坐标成比例

1.3 向量的模方向余弦

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向量模长的计算：$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$，则$|a|=\sqrt[2]{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
空间两点的距离公式：$A=(x_1,y_1,z_1)$，$B=(x_2,y_2,z_2)$,$|AB|=(\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2})$
方向角：有向量$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$，向量$a$与$x$轴的夹角为$\alpha$，与$y$轴的夹角为$\beta$，与$z$轴的夹角为$\gamma$，则称$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为向量的方向角，$\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \gamma$为向量的方向余弦。显然有$\cos \alpha =\frac{a_x}{|\vec{a}|}、\cos \beta =\frac{a_y}{|\vec{a}|}、\cos \gamma =\frac{a_z}{|\vec{a}|}$。例题：

投影：设$\vec{a}$与$u$轴的夹角为$\alpha$，那么$\vec{a}$在$u$轴上的投影为$|\vec{a}|\cos \alpha$，记作$(\vec{a}{)}_u$

1.4 数量积的概念与运算

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概念：设$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角为$\alpha$，则称$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积，也称为点积。

1.5 数量积及计算例题

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略

1.6 向量积的概念与运算

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概念：设$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角为$\alpha$，$\vec{c}$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的向量积，那么$\vec{c}$满足：
1.$\vec{c}\perp \vec{a},\vec{c}\perp \vec{b}$且符合右手规则。
2.模$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \alpha$
tips：叉积不满足交换律：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$
向量积的行列式求法：有$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$，$\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$，则$\vec{a}\times \vec{b}$为下方行列式的结果
$$\left|\begin{array}{ccc}\vec{a}& \vec{b}& \vec{c}\\ & & \\ a_x& a_y& a_z\\ & & \\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

1.7 向量积及计算例题

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略

1.8 平面的点法式方程

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法（法线）向量：如果一个非零向量垂直于一平面，那么这个向量被叫做该平面的法线向量
点法式方程：一个平面经过已知点$A(x_0,y_0,z_0)$，且垂直于$\vec{n}=(A,B,C)$。设$B(x,y,z)$，$\overrightarrow{AB}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，由$\overrightarrow{AB}\perp \vec{n}$可得该平面的点法式方程：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$
$\vec{n}$称为平面的法向量
tips：有定义可得，如果存在一个平面的点法式方程为$Ax+By+Cz+D=0$，那么可以直接写出该平面的法向量：$\vec{n}=(A,B,C)$

1.9 平面的一般方程

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$Ax+By+Cz+D=0$与点法式方程$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$等价（可以看出$D=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0$）。该平面的法线向量即为$\vec{n}=(A,B,C)$
特殊情况：当$A、B、C、D$一者或多者为0时，均是这个平面的一些特殊情况。例如当D为0时，这个平面一定经过原点。当A为0时，这个平面一定垂直于$x$轴

1.10 两平面的夹角

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两平面的夹角$=$两平面的法线向量的夹角$(\le 90°)$
两平面垂直$\Rightarrow$对应法线向量垂直
两平面平行$\Rightarrow$对应法线向量平行

1.11 空间直线的参数方程

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直线可以看成两个平面的交线
因此可以联立两个平面方程表示一条直线
这个方程组称为直线的一般式方程
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
很容易想到，任意一条直线可以由无穷多的两个不相同的平面表示，所以直线的一般方程不唯一
方向向量：一个向量与直线平行，那么该向量称为该直线的方向向量
对称式方程（点向式方程）
设一条直线经过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，且有方向向量$\vec{n}=(n,m,p)$，设直线上一动点为$M(x,y,z)$，有向量$\overrightarrow{M_{0}M}//\vec{n}$，所以可得该直线的点向式方程：
$$\frac{x-x_0}{n}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p}=t$$
将点向式方程进一步变换可得直线的参数式方程：
$$\{\begin{array}{l}x=tn+x_0\\ \\ y=tm+y_0\\ \\ z=tp+z_0\end{array}$$
例：给出直线的一般式方程，使用点向式方程和参数式方程表示该直线
$$\{\begin{array}{l}x+y+z+1=0\\ \\ 2x-y+3z+4=0\end{array}$$
解：
1.先任意取该直线上的一点$M.(1,0,2)$
2.可以直接写出两个平面的法线向量$\overrightarrow{n_1}=(1,1,1)$、$\overrightarrow{n2}=(2,-1,3)$
3.因为该直线与两个平面的法线向量都垂直，所以可以取$\vec{a}=\overrightarrow{n1}\times \overrightarrow{n2}=(4,-1,-3)$作为直线的方向向量
4.设直线上一动点$M(x,y,z)$，因此$\overrightarrow{M_{0}M}=(x-1,y,z-2)$
5.根据$\vec{a}//\overrightarrow{M_{0}M}$得点向式方程：$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{-3}=t$
6.可写出参数式方程：
$$\{\begin{array}{l}x=4t+1\\ \\ y=-t\\ \\ z=2-3t\end{array}$$

1.12 两直线的夹角

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设两条直线的方向向量为$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$（一般取$\le$ 90°，因为直线夹角$\le$ 90°），那么这两条直线的夹角就是$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$的夹角。
计算方法参照数量积公式
$$cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

1.13 平面与直线的夹角

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取直线的一个方向向量$\overrightarrow{n_1}$，再取平面的法线向量$\overrightarrow{n_2}$，容易得到，直线与平面的夹角$\alpha$满足：
$$\sin \alpha =|cos(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})|$$
tips：判断直线和平面平行时，注意判断一下直线是否在平面内

1.14 曲面方程的概念

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如果曲面S与方程$F(x,y,z)=0$满足:
1.曲面S上的任意点都满足此方程
2.不在曲面S上的任意点都不满足此方程
则称方程$F(x,y,z)=0$为曲面S的方程
曲面S称为方程$F(x,y,z)=0$的图形

1.15 旋转曲面

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一条平面曲线绕一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴
曲线$C_1$：$f(x,y)=0$饶$x$轴旋转，将$y$改写成$\pm \sqrt{y^2+z^2}$，得到的曲面方程为$f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$
曲线$C_2$：$f(x,y)=0$饶$y$轴旋转，将$x$改写成$\pm \sqrt{x^2+z^2}$，得到的曲面方程为$f(\pm \sqrt{x^2+z^2},y)=0$
曲线$C_3$：$f(y,z)=0$饶$z$轴旋转，将$y$改写成$\pm \sqrt{x^2+y^2}$，得到的曲面方程为$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$

原理（以曲线$C_3$为例）：曲线$C$：$f(y,z)=0$，取点$M_0(0,y_1,z_1)$，显然有$f(y_1,z_1)=0$(2)，设$M_0$绕z轴旋转后得到的点为点$M(0,y,z)$，有$z=z_1,|y_1|=\sqrt{x^2+y^2}$，即$z_1=z,y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$，代回方程(2)，可得$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$

1.16 柱面

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若有一平面曲线$C$，有一直线$l$垂直于$C$做平行移动，直线$l$的轨迹就称为柱面。其中，平面曲线$C$称为柱面的准线，动直线$l$称为柱面的母线
tips：只需要先知道平面曲线$C$在平面中的形状，再推广到三维即可，例如$x^2+y^2=9$，在平面中是一个圆，那么推广到三维就是一个圆柱面，类似的有椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等

1.17 二次曲面

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$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0$（二次项系数不全为0）它的图形统称为二次曲面，把平面称为一次曲面。二次曲面的基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面等
研究二次曲面的基本方法为截痕法

1.18 空间曲线方程

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同空间直线方程，空间曲线方程可以看做是两个曲面的交线，因此其一般方程为方程组：
$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ \\ G(x,y,z)=0\end{array}$$
空间曲线的参数方程：
可以将一般方程中的$x,y,z$分别用参数t表示，称为空间曲线的参数方程，例如：
一般方程为：
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ \\ 2x+3z=6\end{array}$$
令$x=\cos t,y=\sin t,则z=2-\frac{2}{3}\cos t$
就可得到参数方程：
$$\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ \\ y=\sin t\\ \\ z=2-\frac{2}{3}\cos t\end{array}$$

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第一章 章节知识结构网：

第二章 多元函数微分学

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本来直接看多元函数的极限，但是看了好几遍也看不太懂，才发现自己没有学习从一元推广到多元的一些概念，
在章节学习前，先介绍一些平面点集和n维空间中的一些基本概念：
有序二元实数组$(x,y)$与平面上的一点$P$被视作是等同的，即将二元实数组$(x,y)$与平面中的一点$P$一一对应。例如，E={(x,y)∣x,y∈R}E=\{(x,y)|x,y \in R\}E={(x,y)∣x,y∈R}就表示坐标平面
坐标平面中具有某种性质$W$的点的集合，称为平面点集，记作E={(x,y)∣(x,y)具有某种性质W}E=\{(x,y)|(x,y)具有某种性质W\}E={(x,y)∣(x,y)具有某种性质W},例如，平面中以原点为圆心，以r为半径的圆内的点的集合为E={(x,y)∣x2+y2<r2}E=\{(x,y)|x^2+y^2<r^2\}E={(x,y)∣x2+y2<r2}，如果将(x,y)记作点$P$，也可写成E={P∣∣OP∣<r}E=\{P||OP|<r\}E={P∣∣OP∣<r}
邻域：设有一点$P_0(x_0,y_0)$,将平面内到$P_0$距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为$P_0$的$\delta$邻域，记作U(P0,δ)={(x,y)∣(x−x0)2+(y−y0)2<δ2}U(P_0,\delta)=\{(x,y)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\delta^2\}U(P0​,δ)={(x,y)∣(x−x0​)2+(y−y0​)2<δ2}
去心邻域：即不含点$P_0$本身，记作$\mathring{U}(p_0,\delta )$。
如果不强调邻域的半径，则用$U(P_0)$表示$P_0$的某个邻域
一点$P_0\in R^2$与一个点集$E\in R^2$必定有以下三种关系中的一种：
内点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\in E$，那么点$P$称为$E$的内点
外点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\notin E$，那么点$P$称为$E$的外点
边界点：如果点$P$的任一邻域$U(P)$内，既有属于$E$的点，又有不属于$E$的点，那么点$P$称为$E$的边界点
如下图中，$p_1$，$p_2$，$p_3$分别为$E$的内点、外点、边界点

聚点：若一点$P_0$的任一去心邻域$U(P_0)$中，总有点属于点集$E$，那么称$P_0$为$E$的聚点。根据性质易得，聚点可以是内点，也可以是边界点。例如，对于点集E={(x,y)∣1≤x2+y2<2}E=\{(x,y)|1\le x^2+y^2<2\}E={(x,y)∣1≤x2+y2<2}，点$A(1,1)$和点$B(\sqrt{2},\sqrt{2})$都是$E$的聚点和边界点，点$C(\frac{11}{10},\frac{11}{10})$是$E$的内点和聚点
开集：如果点集$E$中的所有点都是$E$的内点，那么称$E$为开集
闭集：如果点集$E$包含$E$的所有边界点，那么称$E$为闭集
{(x,y)∣1≤x2+y2≤2}\{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 2\}{(x,y)∣1≤x2+y2≤2}为闭集，{(x,y)∣1<x2+y2<2}\{(x,y)|1< x^2+y^2< 2\}{(x,y)∣1<x2+y2<2}为开集，{(x,y)∣1≤x2+y2<2}\{(x,y)|1\le x^2+y^2< 2\}{(x,y)∣1≤x2+y2<2}既不是闭集也不是开集。
连通集：如果点集E中所有点都可以用一条折线连接起来，切该折线上的点都属于E，那么称E为连通集
开区域：连通的开集称为开区域
闭区域：连通的闭集称为闭区域
有界集：如果一个点集$E$，存在$E\subset U(P_0,\delta )$，那么称$E$为有界集
无界集：不是有界集就成为有界集
题外话：数学语言表达真的是十分严谨准确，很是喜欢

2.1 多元函数的极限及连续-1

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多元函数极限的定义：
先回想一下一元函数的$ϵ-\delta$极限的定义：设函数$f(x)$在$x_0$处有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$ϵ$，总存在一个$\delta$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<ϵ$成立。即要多小有多小。
推广到多元函数。设函数在$P_0(x_0,y_0)$上有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$ϵ$,总存在一个$\delta$，使得当$P(x,y)\in \mathring{U}(p_0,\delta )$时，$$|f(x,y)-A|<ϵ$$成立,那么就称$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to (x_0,y_0)$的极限，记作$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$
$n$元函数的极限称为$n$重极限
二重极限$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$与累次极限$\underset{x\to x_{0}y\to y_0}{\lim }f(x,y)$及$\underset{y\to y_{0}x\to x_0}{\lim }f(x,y)$不同，如果三者都存在，那么三者相同。三者中一者存在不能退出其他两者存在。

2.2 多元函数的极限及连续-2

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连续性的定义：如果二元函数在$P_0$点处的极限值等于函数值，那么就称函数在$P_0$处连续。
初等函数在各自的定义域内都是连续的，因此，在函数的间断点只可能出现在分段函数的分段点和定义域以外的点处
有界性与最大值最小值定理：在闭域上连续的二次函数，一定有界，且能取得最大值和最小值。
介值定理：在闭域上连续的二次函数，函数值一定介于最大值和最小值之前
一致连续性：在闭域上连续的二次函数必定在该闭域上一 致连续（注意区分一致连续性和连续性）

2.3偏导数的定义及其计算法

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复习：在一元函数中，导数的计算方法为$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
因为在多元函数中，函数自变量不止一个，在这一节中，我们先考虑其中一个自变量的变化率。以函数$f(x,y)$为例，如果只有x变化，那么可以将y看成常数，$f(x,y)$就可以看成是一元函数与，这个函数就是关于$x$的偏导数
因此，$f(x,y)$关于x的偏导数即为$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$。此概念可以推广到三元以上的函数（只考虑其中一个自变量的变化率，将其他自变量看作常量）
例题：求$z=x^2+3xy+y^2$在点$(1,2)$处对$x$的偏导数
方法一：先求后代
$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$，将点$(1,2)$代入方程，得$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y=8$
由于在方法一的整个过程中，我们都将y看成常数，因此我们可以先带入y的值再进行求导，这是方法二的前提
方法二：先代后求
将点$(1,2)$代入方程得$z=x^2+6x+4$，对$x$求偏导，即为$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+6=8$

2.4 偏导数的几何意义

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复习：在一元函数中，导数的几何意义就是函数值在该点处的切线的斜率
上一节中我们已经知道，偏导数只考虑一个自变量的变化，把其余的自变量看成常量，这样多元函数的偏导数就变成了一元函数，所以偏导数的几何意义仍然是该点处函数值切线的斜率
例如，假设$f(x,y)$表示的是一个上半球，那么$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对x的偏导为上半球与$y=y_0$这个平面的交线在点$(x_0,y_0)$处的切线的斜率。如图：

在一元函数中，在一点处导数存在一定连续，但是在多元函数中，在一点处偏导数存在不一定连续

2.5 全微分的定义及其计算方法

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设函数$f(x,y)$在$P(x,y)$的某邻域内有定义，我们将$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$称为函数在点$P$对应于自变量$(\Delta x,\Delta y)$的全增量，记作$\Delta z$。$$\Delta z=(\Delta x,\Delta y)$$一般来说，计算全增量比较复杂，因此，我们将引入增量$\Delta x\Delta y$的线性函数来近似的表示全增量$\Delta z$：
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$
若函数在$(x,y)$处可微，我们将$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分,其中$A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$,即：$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
上述方程称为叠加原理:一个方程的全微分等于它的各个偏微分之和，三元及以上的函数也成立
函数可微$\Rightarrow$偏导数存在，反之不成立
偏导数连续$\Rightarrow$函数可微，反之不成立
证明（个人感觉太难）略

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