差分数组

例题：HDU 1556 传送门

题目大意：给你n个排成一排的气球，标号1,2,3…n。接下来执行n次操作，每次给出两个数a,b，将[a,b]内的气球涂一次颜色。最后问你每个气球分别被涂了几次颜色。

这题最暴力的写法就是每次拿到[a,b]区间就for遍历+1，但是操作数稍微多了就会T，这时候，我们就可以用到差分数组，差分数组就是用来解决区间修改和区间查询的操作的。（前提是修改与查询分开，也就是先执行若干次修改，再执行若干次查询，两者不能混合进行）

差分数组：

假设现在有一个数组a[6]={0,2,7,5,1,6}

差分数组b:

• b[0]=a[0]
• b[i]=a[i]-a[i-1](i>=1)
  也就是说b[6]={0,2,5,-2,-4,5}
  那么知道一个数组a的差分数组b有什么用呢？

1.执行连续区间的修改操作时：

例如我们现在对a数组的[2,4]的数都加上k，那么就有a[6]={0,2,7+k,5+k,1+k,6}，此时，我们再来观察差分数组b的变化，b[6]={0,2,5+k,-2,-4,5-k}。可以看到，数组a的[i,j]区间修改，需要遍历a[i]到a[j]，而差分数组b只需改变b[i]和b[j+1]即可。当需要对区间[i,j]做+k的操作时，只需对差分数组做b[i]+k,b[j+1]-k即可。证明也很容易，不赘述。

2.执行连续区间的查询操作时：

我们先来看看一个数组a[6]={a,b,c,d,e,f}，差分数组b[6]={a,b-a,c-b,d-c,e-d,f-e}，我们再来求一下差分数组b的前缀和SUM[6]看看，SUM[6]={a,b,c,d,e,f},可以发现差分数组的前缀和就是原来的数组a。这时，无论是做单点查询（直接输出SUM数组元素），还是做区间查询（对SUM数组再做一次前缀和）都很方便。