逆元基本性质与运用

逆元

逆元，类似于倒数，
如果$ax\equiv 1(modp)$,且$gcd(a,p)=1$（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。
注意：只有a和p互质的时候，a才有关于p的逆元，所以当有多个p和a互质时，所求的a关于p的逆元也是不同的。

$a\ast x\equiv 1(modp)$

其中$x$ 叫做$a$的关于$p$的逆元，记为：$inv(a)=x$
所以$a\ast inv(a)\equiv 1(modp)$

例如：

若a*x = 1那么x是a的倒数，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小数
那数论中，这个mod出来这里不能有小数，所以现在问题变了

我们可以这么写：

$a/b=a/b\ast b\ast T$ (T为b的逆元，这里省略了mod操作，太懒了不想写 )
$1=b\ast T$

但是如何去求逆元呢？我们引入一个定理：（邦邦卡邦~~~）

费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为：
假如p是质数，且$gcd(a,p)=1$，那么 $a^{(p-1)}\equiv 1(modp)$，
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

接着继续：

$a^{(p-1)}=1(modp)$
$a\ast a^{(p-2)}=1(modp)$

哎，是不是很像上面那个式子
我们把它拿过来看看：

$b\ast T=1$

哎，这么一对应
我们发现

$b的逆元即为b^{(p-2)}$

线性求逆元

设$p=k\ast i+j$

$k\ast i+j=0(modp)$

$k\ast i\ast (i^{-1}\ast j^{-1})+r\ast (i^{-1}\ast j^{-1})=0(modp)$
$k\ast j^{-1}\ast i^{-1}=0(modp)$

$i^{-1}=-k\ast j^{-1}(modp)$
$i^{-1}=-\lfloor p/i\rfloor \ast k\ast j^{-1}(modp)$

再代入$j=pmodi$,得
$i^{-1}=-\lfloor p/i\rfloor \ast (pmodi{)}^{-1}(modp)$

我们可以发现，这个$(pmodi)$是小于i的，也就是我们求过，所以我们可以用递推求出
也就是以下伪代码：

$inv[i]=-\lfloor p/i\rfloor \ast inv[pmodi]$

代码如下：

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  inv[i] = (long long)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
}

来看个例题吧

AC代码：