逆元

 

逆元详解

1.扩展欧几里得

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)

这个方程可以转化为ax-my=1

然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd

检查gcd是否为1

gcd不为1则说明逆元不存在

若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

PS：这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为O(ln n)

 

[cpp]view plaincopy

 

 

typedef  long long ll;  

void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){  

    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}  

    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }  

}  

ll inverse(ll a,ll n){  

    ll d,x,y;  

    extgcd(a,n,d,x,y);  

    return d==1?(x+n)%n:-1;  

}  

 

 

2.费马小定理

在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p） 
那么a^(p-2)=a^-1(mod p) 
也就是说a的逆元为a^(p-2)

而在模不为素数p的情况下，有欧拉定理
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢? 

检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可

PS:这种算法复杂度为O(log2 n) ，在几次测试中，常数似乎较上种方法大

当p比较大时，需要快速幂求解

 

[cpp]view plaincopy

typedef  long long ll;  

ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){  

    ll res=1;  

    while(n>0){  

        if(n&1)res=res*x%mod;  

        x=x*x%mod;  

        n>>=1;  

    }  

    return res;  

}  

 

3.特殊情况

 

4.逆元打表

有时会遇到这样一种问题，在模质数p下，求1~n逆元 n< p（这里为奇质数）。可以O(n)求出所有逆元，有一个递推式如下

                   

它的推导过程如下，设，那么

      

对上式两边同时除，进一步得到

       

再把和替换掉，最终得到

       

初始化，这样就可以通过递推法求出1->n模奇素数的所有逆元了。

另外有个结论模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

 

[cpp]view plaincopy

 

typedef  long long ll;  

const int N = 1e5 + 5;  

int inv[N];  

   

void inverse(int n, int p) {  

    inv[1] = 1;  

    for (int i=2; i<=n; ++i) {  

        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;  

    }  

}  

 

 

逆元是一个很重要的概念， 对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

 逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

 继续学习练习：

http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8220787