莫比乌斯函数与欧拉函数

积性函数

两个互质的整数m,n;
若满足$f(nm)=f(n)\ast f(m)$
这就是一积性函数

两个任意的整数m,n;
若满足$f(nm)=f(n)\ast f(m)$
这就是一完全积性函数

欧拉函数

欧拉函数：在n范围内与n互质的个数
$\varphi (n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$
$n=p_1^1\ast p_2^2...\ast p_m^m$

所以：$\varphi (n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]=n\ast (1-1/p_i)\ast (1-1/p_2)...\ast (1-1/p_m)$

$\varphi (1)=1$
代码如下：

莫比乌斯函数与欧拉函数

莫比乌斯函数

这，是莫比乌斯函数的定义，这时候有人就要问了：

“兄弟兄弟，这式子太麻烦了，我看不懂啊，能不能换个更加通俗易懂的方法？”
“有的兄弟，有的，像这样的通俗解法还有好几个”

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：
1）μ(1)=1；
2）当n存在平方因子时，μ(n)=0；
3）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1；
4）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1。

如何求解莫比乌斯函数 我们根据定义，直接进行质因数分解。碰到平方因子直接返回 0 ，
否则每次碰到质因数乘一个 -1 即可。总体时间复杂度是 O(√n)

但是平常做题经常会用到很多个数的莫比乌斯函数值，那么我们就不能用这种方法求了。我
们知道莫比乌斯函数是积性函数，所以很方便使用线性筛求解莫比乌斯函数

$\mu (1)=1$
$找到一个质数x,则\mu (x)=-1$
$对于一个和数x，如果有平方因子，\mu (x)=0,否则利用积性函数性质计算$

我们再来把欧拉函数加入进去

1.若 n 是素数， $\phi (n)=n-1$，这个由定义可知。
2.若 n = pk ，$\phi (n)=pk-pk-1$ ，这个在之前已经得出。
3.若 n 是奇数， $\phi (2n)=\phi (n)$，因为 n 和 2 互质，$\phi (2)=1$，由积性函数的性质可得
4. ${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$
5. 若 $p|n$ 且 $p2|n$ ，则\ $\varphi (n)=\varphi (n/p)=p$
这时我们就能用以上性质用线性筛筛欧拉函数了

模板代码：

整合后代码：

int cnt=0,prime[N],miu[N],phi[N];
bool vis[N]; 
void ola(int n){
	vis[1]=miu[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			miu[i]=-1;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				
				miu[i*prime[j]]=0;
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				
				break;
			}
			miu[i*prime[j]]=-miu[i];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}

例题：

AC代码

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注意数据量，别忘开long long!!!

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+10;
int cnt=0,prime[N],phi[N];
bool vis[N]; 
void ola(int n){
	vis[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			//phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int f[N];
signed main(){
    ola(N);
    
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        f[i]=f[i-1]+phi[i];
    }
    
    int n;
	while(cin>>n&&n!=0){
	    cout<<f[n]<<"\n";
	}
	return 0;
}