树状数组的使用

树状数组

就差不多这个样子的：
在这里插入图片描述

$$c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i]$$

lowbit

lowbit操作是求出非负整数x的最后一位1所表示的数值。

int lowbit(int t) {return t&(-t);}

修改：

void update(int x,int y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=y;
}

查询：

int getsum(int x){
    int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=c[i];
	return ans;
}

例题

1.单点修改，区间查询

修改：

void update(int x,int y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=y;
}

查询：

int getsum(int L,int R){//运用前缀和
	int ans = 0;
	for(int i=L-1;i;i-=lowbit(i))
	ans-=c[i];
	for(int i=R;i;i-=lowbit(i))
	ans+=c[i];
	return 0;
}

2.区间修改，单点查询

修改：

void update(int x,int y){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=y;
}
update(L,k);
update(R+1,-k);//这里使用了差分

查询：

int getsum(int x){
    int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=c[i];
	return ans;
}

3.区间修改，区间查询

依旧使用差分，再求前缀和的前缀和

例题：

BIT-3：
题目描述
给定数组 a_1,a_2…a_n，进行 q 次操作，操作有两种：1 l r k：将 a_i~a_k 每个数都加上 k；
2 l r：求 a_l+a_{l+1}…+a_r
输入格式
第一行：输入两个数 n，q，表示给定数组的长度和操作数
第二行：输入 n 个数，表示长度为 n 的给定数组
接下来 q 行：每行输入表示如题的某一种操作
输出格式
对于每个 2 操作，输出对应结果

解题思路：

这个题是区间修改，区间查询
可以考虑之前的区间修改，单点查询
单点查询是求差分数组前缀，得到某个点的值a[x]
如果再求一次前缀，就是我们想要的答案sum[x]

在等号右侧的式子中，d[1]用了p次，d[2]用了p-1次…

所以，维护两个前缀和数组
sum1 维护 d 数组的前缀和
sum2 维护 d*i 的前缀和
区间查询
位置 p 的前缀和即： (p + 1) * sum1 数组中 p 的前缀和 - sum2 数组中 p 的前缀和。区间[l, r]的和即：位置 r 的前缀和 - 位置 l 的前缀和。

AC代码：