乘法逆元

---

一. 乘法逆元

1. 逆元

在群$G$中，$\forall a\in G，\exists a'\in G，s.t. aa'=e$，其中$e$为$G$的单位元。

2. 乘法逆元

$p$为素数，记$a·b=a\times b\mod p$。
在群$(N，·)$中，$\forall a\in N，\exists a'\in N，s.t. aa'=e=1$。
则称$a'$是$a$关于$\mod p$的逆元。

为了方便表示，且下面的内容都只涉及到相同的$p$，我们记$a$关于$\mod p$的逆元为$inv[a]$。

---

二. 逆元的性质

【性质1】（存在唯一性）
对于$a\in N$，有且仅有一个$a'，s.t. aa'\equiv 1(\mod p)$
证明：假设存在$a''$也满足$a\times a''\equiv 1(\mod p)$
则有$a\times a'\equiv a\times a''(\mod p)$
$\therefore a'\equiv a''(\mod p)$
矛盾。

【性质2】（完全积性函数）
$\forall a,b\in N$，$inv[a]\times inv[b]\equiv inv[a\times b](\mod p)$
证明：
∵a×i