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本文介绍了球体的定义及其在自然界中的常见性，提供了计算球体体积和表面积的公式及示例。通过PHP代码演示了具体计算方法，时间复杂度为O(1)。示例计算显示，当半径为5时，体积和表面积分别为523.6和314.16；当半径为12时，结果分别为7238.22和1809.56。

本文介绍了圆锥体积和表面积的计算方法。圆锥体积公式为V=1/3πr²h，表面积公式为A=πrs+πr²，其中r为底面半径，h为高度，s为斜高。文中提供了两个计算示例，并附带PHP实现代码，展示了如何根据给定参数计算圆锥的体积和表面积。该算法的时间复杂度和辅助空间均为O(1)。

本文介绍了金字塔这一几何形状及其不同类型，重点讲解了常见金字塔（三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥）的体积计算公式，并提供了PHP代码实现这些计算。通过实际代码示例展示了如何计算不同底面形状金字塔的体积，时间复杂度为O(1)。文章最后附有典型计算结果的输出示例，包括三角形、正方形、五边形和六边形底面金字塔的体积值。文末还包含了对读者的互动请求。

椭球体是一种三维几何体，所有平面截面均为椭圆或圆形。它具有三个相互垂直的对称轴，由标准方程x²/a²+y²/b²+z²/c²=1定义，其中a、b、c为半轴长度。当三个半轴相等时为球体，两个半轴相等时为旋转椭球体。椭球体积公式为(4/3)πr₁r₂r₃，文章还提供了PHP计算示例代码。

本文介绍了圆锥台（截头圆锥体）的体积和表面积计算方法。圆锥台由一个直圆锥被平行于底面的平面截取形成，其体积公式为V=1/3*πh(r²+R²+rR)，其中r和R分别为上下底半径，h为高度。曲面面积公式为CSA=πl(R+r)，总表面积公式为TSA=πl(R+r)+π(R²+r²)，l为斜高。文中给出了两个计算示例和PHP实现代码，展示了如何通过输入半径、高度和斜高参数来输出圆锥台的体积和表面积值。

本文探讨了圆柱体周长的计算问题。虽然圆柱体是三维形状，但可通过将其横截面投影为矩形来计算"周长"。文章给出了计算公式：P=2*(d+h)，其中d为直径，h为高度。提供了两个计算示例（5,10→30；50,150→400）和PHP代码实现。时间复杂度为O(1)，空间复杂度O(1)。需要注意的是，这种计算实际上是基于圆柱体展开后的矩形周长，而非严格意义上的三维圆柱体周长。

摘要：给定平行四边形的三个顶点坐标A、B、C，可通过向量运算求出第四个顶点D的坐标。核心公式为Dx=Ax+Cx-Bx，Dy=Ay+Cy-By，确保对边平行且相等。该方法时间复杂度为O(1)，适用于任意有效输入组合。例如输入A(5,0)、B(1,1)、C(2,5)时，输出D(6,4)。该算法基于平行四边形对角线中点重合的几何特性实现。

摘要：文章探讨如何根据四边形四条边长求最大面积，指出当四边形为圆内接四边形时面积最大，可使用Brahmagupta公式计算。公式实现先计算半周长(s)，再用sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))求面积。文中给出了PHP代码示例(输入1,2,1,2时输出2.00)，时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(1)。最后寻求更优解法并邀请读者互动。

梯形是至少有一对平行边的凸四边形，平行边称为底边，不平行的边称为腰。梯形面积公式为（上底+下底）×高÷2。文中提供了PHP代码示例计算梯形面积，如输入底边8和10、高6时，面积为54。该算法具有O(1)的时间/空间复杂度。短文最后鼓励读者点赞收藏。

梯形是一种四边形，至少有一对平行边（底边），其他两边为腰。其面积公式为0.5*(上底+下底)*高，周长公式为四边之和。示例展示了不同尺寸梯形的计算过程，如a=5,b=6,h=8时面积为44，周长为18。文中提供了PHP实现代码，包含两个函数分别计算面积和周长，时间复杂度均为O(1)。代码演示了具体调用方法，输入a=5,b=15等参数时输出面积200和周长35。该内容适用于几何计算编程实现。

摘要： 本文介绍了计算平行四边形周长的方法。平行四边形的对边长度相等，周长公式为周长 = 2*(边长a + 边长b)。示例中，当边长a=10、b=8时，周长为36；当a=25.12、b=20.4时，周长为91.04。文章还提供了PHP代码实现该计算，时间复杂度为O(1)。

该文介绍了一种算法：给定k个点，求以原点(0,0)为圆心的最小半径圆，使其至少包含k个点。方法是计算各点到原点的距离平方并排序，取第k小的距离作为半径平方。文中提供了PHP代码实现，时间复杂度为O(nlogn)。示例显示：当输入点(1,1),(-1,-1),(1,-1)且k=3时，输出为2；输入(1,1),(0,1),(1,-1)且k=2时，输出1。

摘要：正方形外接圆面积公式为(πa²)/2，其中a为边长。原理是正方形对角线为a√2，半径r=(a√2)/2，代入圆面积公式πr²即得结果。PHP示例代码展示计算过程，时间复杂度O(1)。适用于给定边长快速求解外接圆面积，如输入6得56.55。该几何问题突出了正方形对角线与外接圆半径的关系。

要判断一条直线是否与圆相交，可以通过计算圆心到直线的垂直距离并与圆的半径进行比较。具体步骤如下：首先，使用公式计算圆心到直线的距离，公式为 ( \text{dist} = \frac{|a \cdot x + b \cdot y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} )，其中 ( (x, y) ) 是圆心坐标，( a, b, c ) 是直线方程 ( a \cdot x + b \cdot y + c = 0 ) 的系数。然后，将计算得到的距离与圆的半径 ( r ) 进行比较：如果 ( \text{

2 * r * Sin(X/2)高= OP = r * Cos(X/2)三角形面积= 1/2 * (2 * r * Sin(X/2)) * (r * Cos(X/2))因此线段面积= pi * r 2 * (角度/360) - 1/2 * r 2 * Sin(角度)Cos(X/2) = OP/AO 即 OP = AO * Cos(X/2)Sin(X/2) = AP/AO 即 AP = AO * Sin(X/2)三角形 AOB 的面积= 1/2 * 底边 * 高。在上图中，假设扇区形成的角度 = X，

在该图中，绿色阴影部分是扇形，“r”是半径，“theta”是角度，如图所示。在这里，我们可以说阴影部分是小扇形，而其他部分是大扇形。“L”是扇形的弧度。圆形扇区或圆形扇区是圆盘上由两个半径和一个圆弧围成的部分，其中较小的区域称为小扇区，较大的区域称为大扇区。扇形面积的计算方法与圆面积的计算方法类似，只需用圆面积乘以扇形的角度即可。扇区 = ( pi * 20*20 ) * ( 145 / 360 )扇区 = ( pi * 9*9 ) * ( 60 / 360 )现在让我们看看计算圆的扇形的公式。

在圆中，圆边界上的点与圆心的距离相同。圆的周长可以用以下公式简单计算。Circumference(周长) = 31.415。给定圆的半径，编写程序来查找其周长。，pi 的值 = 3.1415。输出：周长 = 12.566。输出：周长 = 50.264。，因为没有占用额外的空间。周长 = 2*pi*r。，其中 r 是圆的半径。，因为没有循环或递归。

我们可以说，对于 N*1，将有 N + (N-1) + (n-2) …+ 1 = (N)(N+1)/2 个矩形。对于 N*M 我们有 (M)(M+1)/2 (N)(N+1)/2 = M(M+1)(N)(N+1)/4。N*M 网格可以表示为 (N+1) 条垂直线和 (M+1) 条水平线。如果网格是 3×1，则会有 3 + 2 + 1 = 6 个矩形。所以总矩形的公式将是 M(M+1)(N)(N+1)/4。如果网格是 2×1，则会有 2 + 1 = 3 个矩形。所以 N×2 = 3 (N)(N+1)/2。

对于 m = n = 4，输出 16 + 9 + 4 + 1 [ 16 个大小为 1×1 + 9 个大小为 2×2 + 4 个大小为 3×3 + 1 个大小为 4×4 ]m = n = 3，输出：9 + 4 + 1 [ 9 个大小为 1×1 + 4 个大小为 2×2 + 1 个大小为 3×3 ]当 n 为较大维度时，总方块数 = mx (m+1) x (2m+1)/6 + (nm) xmx (m+1)/2。因此，方格总数为 m(m+1)(2m+1)/6 + (nm)*m(m+1)/2。

矩形面积和周长，矩形的四条边并不像正方形那样长度相等，而是彼此相对的边长度相等。它有四条边和四个相等的角，每个角都是 90 度。矩形是平面上的平面图形。矩形的两条对角线长度相等。

面积 A = [ x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1-y2)]/2 + [ x1(y4 – y3) + x4(y3 – y1) + x3(y1-y4)]/2。设四个角的坐标为 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3) 和 D(x4, y4)。的面积，即矩形 ABCD 的面积为三角形 ABC 的面积 + 三角形 ACD 的面积。6) 如果 P 位于三角形内部，则 A1 + A2 + A3 + A4 必须等于 A。2) 计算三角形 PAB 的面积为 A1。

具体来说，当你知道三角形两条边的长度和中间的角度时，余弦定理可以用来求出三角形第三边的长度。参见此处了解如何求余弦值。假设 a、b、c 是三角形的边，其中 c 是角 C 对面的边。给定两条边 A、B 和角 C。利用余弦定理求出三角形的第三边。O（log（n）），因为使用内置 sqrt 函数。输入：a = 5,b = 8,c = 49。O（1），因为我们不使用任何额外空间。输出：6.04339。

3、等边三角形的外接圆半径等于 (a /?3)，其中 'a' 是等边三角形边长。给定等边三角形的边长。我们需要编写一个程序来求出给定等边三角形的外接圆面积。我们还知道等边三角形的外接圆半径 = (等边三角形的边长)/?等边三角形的三条边长度相等，三个内角均为 60 度。2、等边三角形的外接圆由等边三角形的三个顶点构成。1、外接圆的圆心是等边三角形中线的交点。Javascript 程序计算圆的面积。其中a是给定等边三角形的边长。），其中 r 是给定圆的半径。Java 程序计算圆的面积。

方法：使用给定的半径，使用上述公式找到面积：（pi * r * r）并以浮点数打印结果。其中 r 是圆的半径，它可能是浮点数，因为饼图的值为 3.14。可以使用以下公式简单地计算圆的面积。O（1），因为没有占用额外的空间。给定圆的半径，求该圆的面积。

把a、b、c想象成三根木棍，现在把最长的木棍c用胶水粘牢在桌面上（即看作固定边），把a、b两根木棍的一头固定到c的两个端点上，另一头可以在桌面上随意摆动，显然它们划过的轨迹是一个分别以A、B为圆点，以a、b为半径的圆。这其实很好理解，如果第三边不是最长边，显然其他两边中至少有一边是大于第三边的，故另外两边之和一定大于第三边，所以只需考虑第三边是最长边的情况即可。沿下图斜线将木板切开。我们知道，如果由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充要条件，所以“任意两边之和大于第三边”是构成三角形的充分必要条件。

现在，如果给定的面积小于此最大面积，我们可以对底边的长度进行二分查找，因为增加底边将增加面积，这是一个单调递增函数，可以轻松应用二分查找。在下面的代码中，编写了一种获取直角三角形面积的方法，回想一下，对于直角三角形，面积是 ½*底边*高，可以使用勾股定理根据底边和斜边计算出高。给定直角三角形的斜边和面积，求出其底边和高，如果给定斜边和面积的任何三角形都不可能，则打印“不可能”。和底边相等，因此如果斜边为 H，则。要获得最大面积，底边和高应该相等，斜边 = 5，面积 = 6。斜边 = 5，面积 = 7。

如果给定三个角的坐标，我们可以对下面的区域 应用鞋带公式。给定一个三角形顶点的坐标，任务是找到该三角形的面积。可以使用以下公式简单地计算 三角形的面积。其中 a、b 和 c 是三角形边长，O(1)，因为没有占用额外空间。三角形面积为 17.320508。三角形面积为 6.000000。

1、计算给定三角形的面积，即上图中三角形ABC的面积。面积A=[x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2）]/2。设三个角的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。给定点P的坐标为（x，y）2、计算三角形PAB的面积。我们可以用同样的公式。给定三角形的三个角点和一个点P。编写一个函数来检查P是否位于三角形内。5、如果P位于三角形内，则A1+A2+A3必须等于A。3、计算三角形PBC的面积。4、计算三角形PAC的面积。

如果三角形的两条边之和大于第三条边，则三角形有效。如果三个边是a、b和c，那么应该满足三个条件。给定三条边，检查三角形是否有效。

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 这里，m 是斜率，(x_1, y_1) 和 (x_2, y_2) 是直线上的任意两点。斜率公式是线性代数和解析几何中的一个基本概念，用于描述直线的方向和倾斜程度。直线的斜率公式用于计算直线上任意两点之间的斜率。斜率，也称为“斜率”或“倾斜度”，是表示一条直线相对于x轴的倾斜程度。要计算直线的斜率，您只需要该直线上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)。给定两个坐标，求一条直线的斜率。

截面公式告诉我们将给定线段分成两部分的点的坐标，使得它们的长度之比为 m : n。PS = x – x1 和 RT = x2 – x。从我们的图表中，我们可以看到，坐标 (1.5, 2.5)类似地，我们可以解出 y。按 1:1 的比例划分线。按 2:3 的比例划分线。利用相似性，我们可以写出。

查找一条直线的中点可以通过简单的数学公式实现。中点的坐标是两个端点坐标的平均值。输入 : x1 = –1, y1 = 2,输入 : x1 = 6.4, y1 = 3。输出 : –2.15, 3.5。O（1），因为只执行常量操作。

该模式类似于金字塔模式。要打印盒子形状，我们需要为 i==1（第一行）和 i==n（最后一行）打印 '-'，为 j==1（第一列）和 j==n（最后一列）打印 '|'。要打印盒子形状，我们需要为 i==1（第一行）和 i==n（最后一行）打印 '-'，为 j==1（第一列）和 j==n（最后一列）打印 '|'。6. 否则打印‘*’并从 1 遍历到 2*(ni)-3 以打印空心菱形的空间（比如 j），并在循环结束后打印‘*’。5. 如果 (i==n-1) 则打印‘*’（因为最后一行我们只需要一颗星）。

倒 V 型模式：给定 n 的值，打印倒 V 型模式。O(n 2 )，其中 n 表示给定的输入。O(n 2 )，其中 n 表示给定的输入。O(1)，不需要额外的空间，因此为常数。O(1)，不需要额外的空间，因此为常数。给定 n 的值，打印 V 模式。

O（rows_no*rows_no），其中rows_no是从用户获取的行值。给定正整数 n，以沙漏形式打印数字模式。O（1），因为我们不使用任何额外的空间。

O(n*n)，因为我们正在遍历网格的行和列来打印空格 ' '和星号 '*'。给定一个数字n ，编写一个程序来打印一个有2n行的菱形。O(1)，不使用额外空间。

这个想法是对金字塔的每个部分使用两个 for 循环。这两个部分可以分为上部和下部。我们强烈建议您最小化浏览器并先自己尝试一下。编写程序打印由星星组成的金字塔图案。

该方法基于使用二项式系数的方法。我们知道行号 line 中的第 i 个条目是二项式系数 C(line, i) ，并且所有行都以值 1 开头。这个想法是使用C(line, i-1)计算C(line, i )。例如，第一行有“1 ”，第二行有“ 1 1 ”，第三行有“1 2 1 ”，等等。此方法可以优化为使用 O(n) 额外空间，因为我们只需要前一行的值。因此，可以在 O(1) 时间内通过 C(line, i-1) 计算出 C(line, i)3、在 O(n) 时间内，给定行号，找到帕斯卡三角形的特定行。

在本文中，我们讨论了 O(n*k) 时间和 O(k) 额外空间算法。C(n, k) 的值可以在 O(k) 时间和 O(1) 额外空间内计算出来。4、所以答案将等于 ((n/1)*((n-1)/2)*…*((n-r+1)/r)，等于 nCr。3、在每次迭代中更新 ans 为 (ans*(ni))/(i+1)，其中 i 是循环计数器。这里函数采用两个参数n和k，并返回二项式系数 C(n, k) 的值。// 如果 r > n-r，则 r 可以更改为 n-r。另外，C(n, k) = C(n, nk)

贪心选择是总是选择剩余活动中完成时间最短的下一个活动，并且开始时间大于或等于先前选择的活动的结束时间。我们可以根据活动的完成时间对活动进行排序，以便我们始终将下一个活动视为完成时间最短的活动。在实现中，假设活动已经按照完成时间排序，否则时间复杂度将上升到 O(N*log(N))，辅助空间将上升到 O(N)，因为我们必须创建一个二维数组来将开始时间和结束时间存储在一起。B 中的活动是独立的，并且 k 的完成时间是所有活动中最小的。每一步，我们都可以做出当前看来最好的选择，从而得到整个问题的最优解。