33.矩形覆盖

最新推荐文章于 2021-10-30 20:04:30 发布

heda3

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分类专栏：数据结构算法 # 递归文章标签：矩形覆盖斐波那契数列

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/heda3/article/details/86774228

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递归

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本文探讨使用2*1小矩形无重叠覆盖2*n大矩形的方法数量，通过递归与迭代算法解决，归纳出f(n)=f(n-1)+f(n-2)的递推公式，并推广至1*m方块覆盖m*n区域的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路：

可以从第n-1到一步到n，这样的话有多少种方案覆盖到n-1就有多少种方案覆盖到n，另外我们也可以从n-2覆盖到n，有多少种方案覆盖到n-2就有多少种方案覆盖到n.？可以这样认为2*1的矩形有两种可能;1)竖着2*1 2）横着此时必须是两块2*1的矩形拼成2*2 此时就好理解了

也可以也可以举例子归纳：

分别为当n=1时 1种

n=2时 2种方式

n=3时 3种方式

n=4 时 5种方式

f(n) = f(n-1) + f(n - 2)， (n > 2)

推广：

相应的结论应该是：

（1）1 * 3方块覆盖3*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 3)， (n > 3)

（2） 1 *4 方块覆盖4*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 4)，(n > 4)

更一般的结论，如果用1*m的方块覆盖m*n区域，递推关系式为f(n) = f(n-1) + f(n-m)，(n > m)。

参考;https://www.nowcoder.com/profile/2951934/codeBookDetail?submissionId=16796833

类似之前的文章：

30.斐波那契数列https://blog.youkuaiyun.com/heda3/article/details/86773270

31.跳台阶https://blog.youkuaiyun.com/heda3/article/details/86773998

递归解法：

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if (number < 1) 
        {
            return 0;
        }
        else if (number == 1 || number == 2) 
        {
            return number;
        } 
        else 
        {
            return rectCover(number-1) + rectCover(number-2);
        }
    }
};

迭代解法：

1需要辅助数组

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        int rC[number+1];
        rC[1]=1;
        rC[2]=2;
        if (number <= 1) 
        {
            return number;
        }
       for(int i=3;i<=number;i++)
       {
           rC[i]= rC[i-1]+ rC[i-2];
           
       }
        return rC[number];
    }
};

迭代：递推解法1

2不需要辅助数组，需要3个变量

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        int rC1=1,rC2=1,rC3=1;
       if(number <= 1) 
        {
            return number;
        }
       for(int i=2;i<=number;i++)
       {
           rC3=rC1+rC2;
           rC1=rC2;
           rC2=rC3;
       }
        return rC3;
    }
};

注意：如果n=0那么返回是0

错误代码

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if(number<=0)
            return 1;//像这样是错的
        int  temp1=1,temp2=1,temp3=1;
        while(--number){
            temp3=temp1+temp2;
            temp1=temp2;
            temp2=temp3;
        }
        return temp3;
}
};

递推2

需要两个变量

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if ( number < 1 ) 
            return 0;
        int g = 1, f = 2;
        while ( --number ) 
        {
            //只需要两个变量
            f = f + g;
            g = f - g;
        }
        return g;
    }
};

参考：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6