48、自定界数字的排序与排名及树同构算法解析

自定界数字的排序与排名及树同构算法解析

在数据处理和图论领域，自定界数字的排序与排名以及树同构问题是重要的研究方向。本文将详细介绍相关算法，包括自定界数字的排序、排名算法，以及空间高效的树同构算法。

自定界数字的排序与排名

自定界数字存储在长度为 N 的序列 S 中，我们使用查找表来快速解决算法中的子问题。查找表是预先计算的表，存储有限宇宙中每个可能状态的答案。我们假设参数 τ 满足 log N ≤ τ ≤ w，用于构建长度为 ⌈τ/2⌉ 的二进制序列的查找表。

排序算法

• 大小数区分 ：设 q = 2N/τ，将序列 S 中的数分为大小数。扫描 S，将小数写入 S≤q，大数写入 S>q。在字 RAM 模型下，扫描 N 位序列 S 并报告所有 k 个数的时间复杂度为 O(k + N/τ)。
• S≤q 排序 ：先使用稳定计数排序对 S≤q 进行预排序，将需要 i 位作为自定界数字的数放在区域 Ai 中，再对每个区域独立排序。

graph LR
    A[S≤q 序列] --> B(稳定计数预排序)
    B --> C{划分区域 Ai}
    C --> D(区域独立排序)
    D --> E[S≤q 排序完成]

• S>q 排序 ：S>q 中的数最多有 O(τ) 个，最大数可能占 O(N) 位。将每个数解释为字符串，先