DeepSeek 插入排序

好的，我们来详细讲解一下插入排序。

插入排序是一种简单直观的排序算法，它的工作原理非常类似于我们整理手中的扑克牌。

核心思想

将待排序的序列（数组）看作两部分：

1. 已排序序列：默认第一个元素自身就是有序的。
2. 未排序序列：第一个元素之后的所有元素。

排序过程中，逐个地将未排序序列中的元素插入到已排序序列中的正确位置，直到所有元素都插入完毕。

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算法步骤

1. 开始：从数组的第二个元素开始（索引为1，因为第一个元素默认已排序），将其视为“待插入元素”。
2. 比较与移动：
   · 将“待插入元素”与它前面的已排序序列中的元素从后往前依次比较。
   · 如果前面的元素比“待插入元素”大，则将该元素向后移动一位，为“待插入元素”腾出空间。
   · 继续向前比较，直到找到一个比“待插入元素”小或相等的元素，或者已经比较到数组的开头。
3. 插入：将“待插入元素”插入到找到的正确位置（即最后一个被移动的元素的原位置）。
4. 重复：对下一个未排序元素（即索引为2, 3, …的元素）重复步骤2和3，直到整个数组排序完成。

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图解示例

假设我们要对数组 [5, 2, 4, 6, 1, 3] 进行升序排序。

· 初始状态：[5, 2, 4, 6, 1, 3]
· 5 是初始的已排序序列。
· 2, 4, 6, 1, 3 是未排序序列。

1. 第一轮 (i=1)：处理元素 2
   · 比较：2 < 5，将 5 向后移动 → [5, 5, 4, 6, 1, 3]
   · 到达头部，插入 2 → [2, 5, 4, 6, 1, 3]
2. 第二轮 (i=2)：处理元素 4
   · 比较：4 < 5，将 5 向后移动 → [2, 5, 5, 6, 1, 3]
   · 比较：4 > 2，在 2 后面插入 4 → [2, 4, 5, 6, 1, 3]
3. 第三轮 (i=3)：处理元素 6
   · 比较：6 > 5，无需移动，直接插入当前位置 → [2, 4, 5, 6, 1, 3]
4. 第四轮 (i=4)：处理元素 1
   · 比较：1 < 6，移动 6 → [2, 4, 5, 6, 6, 3]
   · 比较：1 < 5，移动 5 → [2, 4, 5, 5, 6, 3]
   · 比较：1 < 4，移动 4 → [2, 4, 4, 5, 6, 3]
   · 比较：1 < 2，移动 2 → [2, 2, 4, 5, 6, 3]
   · 到达头部，插入 1 → [1, 2, 4, 5, 6, 3]
5. 第五轮 (i=5)：处理元素 3
   · 比较：3 < 6，移动 6 → [1, 2, 4, 5, 6, 6]
   · 比较：3 < 5，移动 5 → [1, 2, 4, 5, 5, 6]
   · 比较：3 < 4，移动 4 → [1, 2, 4, 4, 5, 6]
   · 比较：3 > 2，在 2 后面插入 3 → [1, 2, 3, 4, 5, 6]

排序完成！

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代码实现（Python）

def insertion_sort(arr):
    """
    对数组进行插入排序 (升序)
    """
    # 遍历从1到n-1，因为第一个元素默认已排序
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]  # 当前待插入的元素
        j = i - 1     # 从i的前一个位置开始比较

        # 将比key大的元素都向后移动一位
        while j >= 0 and key < arr[j]:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        
        # 将key插入到找到的正确位置
        arr[j + 1] = key

# 测试代码
if __name__ == "__main__":
    my_list = [5, 2, 4, 6, 1, 3]
    print("原始数组:", my_list)
    insertion_sort(my_list)
    print("排序后数组:", my_list)

输出：

原始数组: [5, 2, 4, 6, 1, 3]
排序后数组: [1, 2, 3, 4, 5, 6]

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算法分析

· 时间复杂度：
· 最坏情况：数组完全逆序。每个新元素都需要比较并移动到最前面。需要进行 1 + 2 + 3 + … + (n-1) = n(n-1)/2 次比较和移动，即 O(n²)。
· 最好情况：数组已经有序。每个新元素只需要比较一次。需要进行 (n-1) 次比较，0次移动，即 O(n)。
· 平均情况：O(n²)。
· 空间复杂度：O(1)。因为它是一种原地排序算法，只使用了常数级别的额外空间（用于存储 key 和索引）。
· 稳定性：稳定。在比较时，如果遇到相等的元素，插入排序会将新元素放在相等元素的后面，不会改变它们的相对顺序。

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优缺点

优点：

· 实现简单，代码易于理解和编写。
· 对于小规模数据或基本有序的数据，效率很高。
· 是稳定的排序算法。
· 是原地排序算法，空间效率高。
· 在线算法：可以逐个接收数据并进行排序，适用于数据流。

缺点：

· 对于大规模乱序数据，效率较低，时间复杂度为 O(n²)。

总结

插入排序是一种基础且重要的排序算法。虽然它在处理大数据时不如快速排序、归并排序等高效算法，但由于其实现简单、对小数据集和近乎有序的数据集效率很高，它在实际中仍有广泛应用，例如作为快速排序等复杂算法在小规模数据上的优化子过程。理解插入排序是学习更高级排序算法的重要基础。