46、树自动良基树与无限博弈的相关研究

树自动良基树与无限博弈的相关研究

树自动良基树的秩界定

主要定理与推论

在树自动良基树的研究中，有一个重要的结果：如果 $T$ 是树自动良基树，那么 $\infty$-秩$(T) < \omega^{\omega}$。从这个定理可以推导出一个推论：对于字符串自动（树自动）良基树 $T = (T, \leq)$，我们有秩$(T) < \omega^{2}$（秩$(T) < \omega^{\omega}$）。

对于字符串自动良基树，其 $\infty$-秩是有限的，根据相关引理可得秩$(T) \leq \omega \cdot i < \omega^{2}$（$i \in N$）；对于树自动良基树，由上述定理可知 $\infty$-秩$(T) < \omega^{\omega}$，所以存在 $i \in N$ 使得 $\infty$-秩$(T) \leq \omega^{i}$，再根据引理可得秩$(T) < \omega \cdot \omega^{i} + \omega < \omega^{\omega}$。

这个推论与字符串自动良基偏序的秩的结果形成对比。字符串自动良基偏序的序数秩是严格小于 $\omega^{\omega}$ 的序数，甚至对于没有无限链的偏序也成立。此外，Delhommé 的研究还表明存在秩为 $\alpha$（$\alpha < \omega^{\omega^{\omega}}$）的树自动良基偏序。

定理证明思路

为了证明定理“如果 $T$ 是树自动良基树，那么 $\infty$-秩$(T) < \omega^{\omega}$”，我们采