42、图论中的完美匹配割与连通反馈顶点集算法研究

图论中的完美匹配割与连通反馈顶点集算法研究

1. 图论基础概念

在图论研究中，我们通常使用标准的图论术语。设 (G = (V, E)) 表示一个简单无向图，其中 (V(G)) 和 (E(G)) 分别表示图 (G) 的顶点集和边集。

1.1 割的定义

• 割 ：将顶点集 (V(G)) 划分为两个不相交且非空的集合 (X) 和 (Y)，即 (V(G) = X ∪ Y)。
• 边割 ：图 (G) 中一端在 (X) 中，另一端在 (Y) 中的所有边的集合，记为 (E(X, Y))。
• 匹配割 ：边割是一个（可能为空的）匹配。等价地，一个割 ((X, Y)) 是匹配割当且仅当 (X) 中的每个顶点在 (Y) 中最多有一个邻居，且 (Y) 中的每个顶点在 (X) 中最多有一个邻居。
• 完美匹配割 ：边割是一个完美匹配。即一个割 ((X, Y)) 是完美匹配割当且仅当 (X) 中的每个顶点在 (Y) 中恰好有一个邻居，且 (Y) 中的每个顶点在 (X) 中恰好有一个邻居。

1.2 部分匹配割相关概念

• 部分匹配割 ：用 ((A, B)) 表示，其中 (A, B ⊆ V(G))，(A) 和 (B) 不相交，但 (A ∪ B) 不一定等于 (V(G))，且 (A) 中的每个顶点在 (B) 中最多有一个邻居，(B) 中的每个顶点在 (A) 中最多有一个邻居。