32、仙人掌图上不确定点中心的计算

仙人掌图上不确定点中心的计算

1. 问题概述

在仙人掌图上计算不确定点的中心是一个具有挑战性的问题。本文主要探讨了两个关键问题：一是确定中心 $x^ $ 是否在节点 $u$ 对应的块 $G_u$ 上；二是若不在，确定 $u$ 在树 $T$ 上的 $H$ - 子树的哪个分裂子树包含 $x^ $，也就是 $G_u$ 的哪个悬挂子图包含 $x^*$。这些问题比树版本的问题更具一般性，因为在仙人掌图的任何路径上，每个 $Ed(P_i, x)$ 不再是关于 $x$ 的凸函数。

2. 预备知识

• 顶点约束情况 ：假设问题处于顶点约束情况，即 $P$ 的每个位置都在图 $G$ 的顶点上，且每个顶点至少包含 $P$ 的一个位置。任何一般情况都可以在线性时间内转化为顶点约束情况。
• 术语定义 ：
  • G - 顶点 ：图 $G$ 中不在任何环内的顶点。
  • 铰链 ：度数大于 2 的环上的顶点。
  • 嫁接 ：图 $G$ 上的最大（连通）树子图，其每个叶子要么是铰链，要么是 $G$ - 顶点，所有铰链都在叶子上，且没有两个铰链属于同一个环。
  • 仙人掌图 ：由嫁接块和环块组成的块图，其骨架是树 $T$，其中图 $G$ 的每个块通过边连接到其铰链。

下面是仙人掌图