20、基于逆变器资源的建模与稳定性分析：感应电机电路的研究

基于逆变器资源的建模与稳定性分析：感应电机电路的研究

1. 引言

在处理不平衡故障时，一些电路包含多个谐波分量，例如转子电路不平衡的感应电机。根据转速$\omega_m$，定子电路具有额定工作频率$\omega_s$及其镜像频率$2\omega_m - \omega_s$，而转子电路可能在转差频率下具有正序、负序和零序分量。将这些电路转换为动态电路本质上是为多频谐波系统获取相量模型，即动态相量模型。接下来将把各种电网组件（包括基于逆变器的资源）的相量 - 阻抗电路表示扩展到动态相量 - 阻抗表示，并分别对感应电机、不平衡拓扑、同步发电机和基于逆变器的资源进行动态分析和谐波分析应用的演示。本文主要聚焦于感应电机部分的内容。

2. 感应电机的稳态电路表示

对于三相感应电机，大约在 1900 年代，Steinmetz 设计了稳态电路表示，该电路已在经典电机书籍中有所呈现。此电路的前提是电机定子的工作频率为$\omega_s$，定子的电压和电流为正序。四个相量（$V_s$、$V_r$、$I_s$和$I_r$）表示定子和转子的电压和电流。

下面使用空间向量进行简要推导：
- 三相定子或转子电流组合成空间向量$\vec{i} s$或$\vec{i}_r$。定子电流空间向量以$\omega_s$旋转，转子电流空间向量以转差频率（转差×$\omega_s$）旋转。若转差为负，从转子框架看，转子电流向量实际上是反向旋转的。
- $\vec{i}_s = I_s e^{j\omega_st}$
- $\vec{i}_r = I_r e^{j转差×\omega_st}$
- 由于转子有机械运动且转速为$\omega_m$，从定子框架看，转子电流空间向量以$\omega_s$的速度旋转，因此两个电流空间向量具有相同的旋转速度，它们之间的角度通常接近 180 度，因为这两个电流之和是励磁电流，通常比这两个电流小得多。励磁电流产生磁场$\vec{\psi}_m$：
- 从定子框架看：$\vec{\psi}_m = L_m(\vec{i}_s + \vec{i}_r e^{j\omega_mt}) = L_m(I_s + I_r)e^{j\omega_st}$
- 从转子框架看：$\vec{\psi} {rm} = L_m(\vec{i} s e^{-j\omega_mt} + \vec{i}_r) = L_m(I_s + I_r)e^{j转差×\omega_st}$
- 其中$L_m$是励磁电感。
- 根据法拉第定律，旋转磁场在定子电路和转子电路中感应出电动势（emf）：
- $\vec{e}_s = j\omega_s L_m(I_s + I_r) \underbrace{e^{j\omega_st}} {E_s}$
- $\vec{e} r = j转差×\omega_s L_m(I_s + I_r) \underbrace{e^{j转差×\omega_st}} {E_r}$
- 提取$\vec{e}_s$和$\vec{e}_r$的相量可得：$E_r = 转差×E_s$，即$E_s = \frac{E_r}{转差} = \omega_s L_m (I_s + I_r)$。基于此，将转子电路的电压和阻抗按$1/转差$的因子进行缩放，同时保持电流不变，就可以将转子电路与定子电路合并，从而得到 Steinmetz 电路。

这个简洁而优雅的表示是一个多频谐波电路，定子电路的频率是$\omega_s$，而转子电路的频率是转差×$\omega_s$。该电路将两个在不同频率下运行的电路以及机械运动整合在一起，最终表示了在定子频率$\omega_s$下定子电压和电流相量与在转子转差频率转差×$\omega_s$下转子电压和电流相量之间的关系。

需要注意的是，当转差为负时，转子电路中流动的是一组负序电流。Steinmetz 电路中的电压和电流相量表示在负频率（例如 -1 Hz）下评估的相量，这些相量是负序相量的共轭。例如，对于负序电压组：
- $v_a(t) = V \cos(\omega t + \theta)$
- $v_b(t) = V \cos(\omega t + \theta + \frac{2\pi}{3})$
- $v_c(t) = V \cos(\omega t + \theta - \frac{2\pi}{3})$
- 基于相量定义，该负序电压组形成的空间向量为：
- $\vec{v}(t) = \frac{2}{3}[v_a(t) + e^{j\frac{2\pi}{3}} v_b(t) + e^{-j\frac{2\pi}{3}} v_c(t)] = V e^{-j\theta} e^{-j\omega t} = V_2^ \cdot e^{-j\omega t} = (V_2 \cdot e^{j\omega t})^ $
- 这表明形成的空间向量具有对应于 -$\omega$频率分量的相量，且该相量是负序相量的共轭。当转差为负时，在 Steinmetz 电路中，转子电路电流相量$I_r$是负转差频率的相量，它是负序相量$I_{2r}$的共轭，即$I_r = (I_{2r})^*$。

3. 感应电机在 dq 框架下的动态电路

适合动态仿真和分析的电路也已在经典书籍中推导和呈现，例如 Krause 的《Analysis of electric machinery and drive systems》。图 9.2 展示了在旋转 dq 框架下的电路表示，该 dq 框架以恒定速度$\omega_s$旋转。从这个框架看，三相定子（转子）电流和电压在稳态时都是常数。

图 9.2 反映了感应电机的微分方程，定子和转子电压复向量$V_s$和$V_r$可以用定子和转子绕组的磁链表示：
- $V_s = R_sI_s + j\omega_s\psi_s + \frac{d\psi_s}{dt}$
- $V_r = R_rI_s + j\omega_r\psi_r + \frac{d\psi_r}{dt}$
- 其中$\omega_r$是转差频率，$\omega_r = \omega_s - \omega_m$。磁链与定子和转子电流的关系如下：
- $\psi_s = (L_{ls} + L_m)I_s + L_mI_r$
- $\psi_r = (L_{lr} + L_m)I_r + L_mI_s$

然而，该电路表示并不直观，因为它明确地将磁链包含在电路中。为了得到简洁的表示，目标是仅用电流来表示电压，并且期望广义电路表示在稳态时能轻松显示为 Steinmetz 稳态电路的等效形式。

考虑到$\psi_s = L_{ls}I_s + L_m(I_s + I_r)$和$\psi_r = L_{lr}I_r + L_m(I_s + I_r)$，可以创建两个电路，其中速度电压效应可以用两个复电抗表示，一个在与定子（或转子）电流串联的支路中，另一个在与两个电流之和并联的支路中，如图 9.3 所示。

图 9.3 可以通过将转子电路的电压按$\frac{s + j\omega_s}{s + j\omega_r}$的因子进行缩放来进一步简化。这个缩放操作确保了两个电路中的两个并联支路现在具有相同的电压。在$s = j0$时，这个因子实际上就是$1/转差$。在 dq 框架中，转差的动态表达式为：
- $转差(s) = \frac{s + j\omega_r}{s + j\omega_s} = \frac{s + j(\omega_s - \omega_m)}{s + j\omega_s}$
由于要保持电流不变，转子电路中的所有阻抗都应按这个因子进行缩放，从而得到如图 9.4 所示的动态电路。该电路与 dq 框架变量形成的复相量相关联。如果在$s = j0$时进行评估，就会得到一个稳态电路，该电路与 Steinmetz 电路相同。

图 9.4 是基于 dq 框架的，dq 框架相对于静态框架以恒定速度$\omega_s$旋转。从静态框架看，空间向量与 dq 框架中的复向量有如下关系：
- $\vec{v}(t) = V e^{j\omega_st}$
- 在拉普拉斯域中，两者的关系为：$\vec{v}(s) = V(s - j\omega_s)$，或$\vec{v}(s + j\omega_s) = V(s)$
- 类似地，任何阻抗在静态框架和 dq 框架中的表达式通过频率偏移$j\omega_s$相关联：$Z(s) = Z_{dq}(s - j\omega_s)$
基于此，可以找到如图 9.5 所示的静态框架下的广义动态电路。仔细检查图 9.5 中的电路可以发现，如果用$j\omega_s$替换$s$，就会得到 Steinmetz 电路。

下面通过表格总结不同框架下电路的特点和关系：
| 框架 | 电路特点 | 与其他框架的关系 |
| ---- | ---- | ---- |
| 稳态电路 | 表示特定扰动频率下的正序相量/阻抗关系 | - |
| dq 框架动态电路 | 考虑了速度电压效应，可简化为稳态电路 | 通过频率偏移与静态框架电路相关 |
| 静态框架动态电路 | 由 dq 框架电路转换而来 | 用$j\omega_s$替换$s$可得稳态电路 |

mermaid 流程图展示从稳态电路到不同框架动态电路的转换过程：

graph LR
    A[稳态电路] --> B[dq 框架动态电路]
    B --> C[静态框架动态电路]
    A -->|替换 jωs 为 s| B
    B -->|频率偏移| C

4. 从稳态电路到广义电路

除了上述将微分方程转换为拉普拉斯变换，并通过拉普拉斯变换表达式中的频率偏移来关联不同框架中的变量之外，还有另一种利用稳态电路来得出动态电路表示的方法。

稳态电路表示在特定扰动频率（即$s = j\omega_s$）下的正序相量/阻抗关系。如果$\omega_s$是任意频率，该电路实际上表示了定子端电压和电流之间的频域关系。将$j\omega_s$替换为$s$，就可以得到一个动态电路。因此，动态电路/模型推导的一个重要技术是充分利用稳态相量 - 阻抗电路。

下面通过具体例子说明：
- 例 1：正序感应电机动态电路
检查稳态电路可知，电路中包含$\omega_s$的阻抗有定子漏电感（$j\omega_sL_{ls}$）、励磁电感（$j\omega_sL_m$）、转子漏电感（$j\omega_sL_{lr}$）以及等效转子电阻（$R_r/转差$，其中$转差 = 1 - \omega_m/\omega_s$）。对于电感等无源元件，其在$s$域中的阻抗可以通过将$j\omega_s$替换为$s$快速得到。对于转差，需要进行一些处理以明确呈现$j\omega_s$：
- $转差 = 1 - \frac{\omega_m}{\omega_s} = 1 - \frac{j\omega_m}{j\omega_s}$，则$转差(s) = 1 - \frac{j\omega_m}{s}$
这种推导方法简洁且利用了感应电机稳态等效电路推导的先验知识，具有坚实的理论基础。
- 例 2：负序感应电机动态电路
利用拉普拉斯变换的特性进行参考框架转换非常容易。例如，从静态框架看的空间向量$\vec{v}$与以转速$\omega_s$旋转的 dq 框架中的复向量$V$有如下关系：$\vec{v} = V e^{j\omega_st}$，在频域中则为$\vec{v}(s) = V(s - j\omega_s)$，或$\vec{v}(s + j\omega_s) = V(s)$。一个 RL 电路在静态框架中的阻抗是$R + sL$，在 dq 框架中的阻抗是$R + (s + j\omega_s)L$，在二次谐波域中的阻抗变为$R + (s + j2\omega_s)L$。

在负序电路中，等效转子电阻为$R_r/转差’$。可以进一步求出负序电路的转差传递函数：
- $转差’ = 2 - 转差 = 2 - (1 - \frac{\omega_m}{\omega_s}) = 1 + \frac{\omega_m}{\omega_s} = 1 + \frac{j\omega_m}{j\omega_s}$，则$转差’(s) = 1 + \frac{j\omega_m}{s}$
另一种方法是利用拉普拉斯变换的共轭特性。如果解析信号$x(t)$的拉普拉斯变换是$X(s)$，那么其共轭信号$x^ (t)$的拉普拉斯变换是$(X(s^ ))^ $。例如，由一组正序电压形成的空间向量$e^{j\omega t}$的拉普拉斯变换是$\frac{1}{s - j\omega}$，则由一组负序电压形成的共轭空间向量$e^{-j\omega t}$的拉普拉斯变换是$(\frac{1}{s^ - j\omega})^ = \frac{1}{s + j\omega}$。负序电路中的转差可以直接从正序电路中的转差利用共轭性质得到：$转差’(s) = (转差(s^ ))^ = (1 - \frac{j\omega_m}{s^ })^ = 1 + \frac{j\omega_m}{s}$。图 9.6 展示了感应电机的负序动态电路，该电路与空间向量的共轭相关联。当在$s = j\omega_s$时进行评估，$v^ (j\omega_s)$根据式(9.16)指的是$\omega_s$处的负序相量$V_{2s}$。

5. 应用：稳定性分析

广义电路表示对于动态分析非常有用。例如，在对某类风力发电机组与串联补偿输电线路径向连接时的次同步谐振（SSR）分析中，可以将整个电路视为由风力发电机阻抗$Z_{sr}$（由于并联阻抗$Z_g$的幅值较大，可忽略不计）和网络阻抗$Z_{net}$两部分组成。可以将电路分析问题转换为一个反馈系统，以总电压源为输入，电流为输出：
- $\Delta i = \frac{1}{Z_{sr} + Z_{net}} \Delta V = \frac{1}{(1 + \frac{Z_{sr}}{Z_{net}})} \frac{\Delta V}{Z_{net}}$
如果网络导纳$1/Z_{net}$是一个稳定系统，将输入改为$\Delta V/Z_{net}$，则可以通过检查环路增益（即两个阻抗的比值）来检查系统的稳定性：
- $环路增益 = \frac{Z_{sr}}{Z_{net}}$

可以使用波特图和奈奎斯特图直观地检查稳定性：
- 奈奎斯特图 ：用于检查风速对稳定性的影响。可以看到，较低的风速会使 SSR 稳定性变差。
- 波特图 ：用于检查补偿水平对 SSR 稳定性的影响。可以发现，较高的补偿水平会导致系统稳定性降低。

除了稳定性检查，广义电路还可以用于解释其他现象。例如，系统的 dq 框架状态空间模型具有次同步模式和超同步模式。虽然这两种模式似乎都源于静态框架中的 LC 谐振模式，但它们具有不同的特性。增加转子电阻会使次同步模式更不稳定，而使超同步模式更稳定。

下面通过表格总结不同因素对系统稳定性的影响：
| 影响因素 | 对稳定性的影响 |
| ---- | ---- |
| 风速 | 风速越低，SSR 稳定性越差 |
| 补偿水平 | 补偿水平越高，系统越不稳定 |
| 转子电阻 | 增加转子电阻，次同步模式更不稳定，超同步模式更稳定 |

mermaid 流程图展示稳定性分析的步骤：

graph LR
    A[电路分析] --> B[转换为反馈系统]
    B --> C[计算环路增益]
    C --> D[使用波特图和奈奎斯特图检查稳定性]
    D --> E[分析不同因素对稳定性的影响]

综上所述，感应电机的稳态电路、动态电路以及广义电路表示在电力系统的分析和设计中具有重要的应用价值，通过对这些电路的研究和分析，可以更好地理解和解决电力系统中的稳定性等问题。