29、图论中的最短路径与子树提取问题研究

图论中的最短路径与子树提取问题研究

1. 最小偏心距最短路径问题

1.1 近似算法的紧性

存在这样的图，算法可能产生偏心距为 3k(G) 的路径。例如图中，算法可能在某些顶点对之间循环，每次可能选择偏心距为 3 的最短路径，而实际上存在偏心距为 1 的路径。

1.2 与层流性的联系

1.2.1 层流性的定义

• 若图 G 有一个偏心距至多为 l 的直径，则称 G 是 l - 层流的。
• 若图 G 的每个直径的偏心距至多为 s，则称 G 是 s - 强层流的。
• l(G) 和 s(G) 分别表示使 G 为 l - 层流和 s - 强层流的最小 l 和 s 值。

1.2.2 相关定理及证明

• 定理 4 ：对于每个图 G，有 k(G) ≤ l(G) ≤ 4k(G) - 2 且 k(G) ≤ s(G) ≤ 4k(G)。同时存在三个图序列 (Gk)k≥1、(Hk)k≥1 和 (Jk)k≥1 满足特定条件，说明这些不等式的边界是紧的。
  • 证明 k(G) ≤ l(G) 和 k(G) ≤ s(G) ：因为每个直径按定义都是最短路径，所以每个直径的偏心距总是大于 k(G)。
  • 证明 s(G) ≤ 4k(G) ：设 D 是图 G 的直径，P 是偏心距为 k 的最短路径。对于图 G 中的任意顶点 z，由于 P 的偏心距为 k，存在 P 中的顶点 vi 使得 d(