11、平面连通支配集改进核与图的L(2, 1)-标号快速精确算法

平面连通支配集改进核与图的L(2, 1)-标号快速精确算法

平面连通支配集改进核

在图论中，平面连通支配集问题是一个重要的研究方向。对于一个图 $G$，如果 $G$ 中的每个顶点都被染成白色或黑色，并且应用规则 1 - 7 中的任何一条都不会改变 $G$ 中任何顶点的颜色，也不会改变 $G$ 的结构，那么称图 $G$ 是约简的。

设 $(G, k)$ 是平面连通支配集的一个给定实例，$G’$ 表示通过先将 $G$ 中的顶点染成黑色，然后反复应用规则 1 - 7 得到的约简图。有 $\mu(G) = \mu_b(G’) = \mu(G’)$，并且这些规则的运行时间显然是多项式的。

对于平面连通支配集问题的一个实例 $(G, k)$，可以在 $O(n^5)$ 时间内构造一个关于规则 1 - 7 的约简图 $(G’, k)$，使得 $G$ 有一个大小至多为 $k$ 的连通支配集当且仅当 $G’$ 有一个由至多 $k$ 个顶点组成的连通支配集。

接下来，基于区域分解的方法，证明平面连通支配集问题存在一个至多有 $130k$ 个顶点的核。具体步骤如下：
1. 证明存在一个至多有 $O(k)$ 个区域的最大 $D$ - 区域分解 $\Re$ ：
- 设 $G = (V, E)$ 是关于规则 1 - 7 约简的平面图，$D$ 是 $G$ 的一个大小至多为 $k$ 的连通支配集。存在一个 $G$ 的最大 $D$ - 区域分解 $\Re$，它包含至多 $3k - 6$ 个区域。
- 进一步，$\Re$ 中满足 $d(v, w) \geq 2$ 的区域 $R(v, w)$ 至多有 $2k - 5$ 个。证明过程是