16、超越平均约束满足度的改进参数化算法

超越平均约束满足度的改进参数化算法

1. 引言

约束满足问题（CSP）是一种通用的表达方式，可用于描述许多组合问题，如 图着色、可满足性问题和各种排列问题。CSP 的一个实例包含一组变量 $V$、变量的定义域 $D$ 以及一组约束 $C$，目标是为 $V$ 中的每个变量从 $D$ 中分配一个值，以最大化满足的约束数量。

在本文中，我们主要关注两种类型的 CSP：布尔 CSP（定义域 $D$ 为 ${-1, +1}$）和排列 CSP（定义域大小等于 $|V|$，且要求分配是一个双射）。

一般来说，解决 CSP 问题是 NP 难的，因此人们关注是否存在高效的近似算法。许多约束满足问题存在一个硬度阈值，即很容易找到一个可行解，满足一定比例的最优约束数量，但要找到一个稍好的解却很困难。例如，Max - E3 - Sat 问题，均匀随机分配可以满足 7/8 的子句，但证明了对于任意 $\epsilon > 0$，满足 7/8 + $\epsilon$ 的子句是 NP 难的。

对于排列 CSP，在唯一游戏猜想（UGC）的条件下，也有类似的结果。例如，Betweenness 问题，均匀随机排列可以期望满足 1/3 的约束，但在 UGC 假设下，很难获得更好的近似比。

这些阈值现象很有趣，它们在可行性和不可行性之间提供了一个清晰的边界。然而，实际应用中可能需要超过这些简单阈值的可行解，因此了解解决超出阈值问题所需的计算量很重要。我们使用参数化复杂度来正式描述这个问题。

我们关注的问题是“（排列）Max - c - CSP 超越平均”：给定参数 $k$ 和一组每个约束最多包含 $c$ 个变量的约束，每个约束有正整数权重，判断是否存在