11、区域梯度可观测性及相关问题研究

区域梯度可观测性及相关问题研究

1. 区域梯度可观测性基础

在研究区域梯度可观测性时，涉及到多个关键的定义和公式。首先，有一个范数定义在空间 $G_2$ 上：
$|g^ | {G_2}^2 = \int {0}^{b} \left[ \left\langle (b - t)^{\alpha - 1}K_{\alpha}(b - t) \sum_{s = 1}^{2} \frac{\partial(\chi_{F}^ g^ )}{\partial x_s}, \delta_{F} \right\rangle_{L^2(F)} \right]^2 dt$
根据定理可知，方程 $\Lambda_2 : g^ \to \chi_{\omega} \nabla \psi(b)$ 在 $G_2$ 中有唯一解，且在 $\omega_2$ 上 $g^* = \left( \frac{\partial y_0}{\partial x_1}, \frac{\partial y_0}{\partial x_2} \right)$。

2. Caputo 型时间分数阶扩散系统

2.1 问题描述

考虑如下时间分数阶扩散系统：
$\begin{cases}
{^C_0 D_t^{\alpha}} y(t) + Ay(t) = 0, & t \in [0, b], 0 < \alpha \leq 1 \
y(0) = y_0, & \text{（假设 } y_0 \text{ 未知）}
\end{cases}$
其中 $A$ 是