73、热传导过程的建模与控制

热传导过程的建模与控制

热传导过程在冶金、材料科学等众多领域都有着至关重要的应用。本文将深入探讨热传导过程中的几个关键方面，包括导体加热、相变前沿控制、薄板加热以及分数阶模型等内容。

1. 导体电流加热

当电流 (I(t)) 流经长度为 (L) 的电阻导体时，会产生热量。根据公式 (Q = 860RI^2t) 可计算在时间 (t) 内，电流强度为 (I) 、电阻为 (R) 的导体所产生的热量（单位：kcal）。其中，导体电阻 (R) 会随温度变化 (x) 而改变，关系为 (R(x) = R_0(1 + \alpha x))，这里的 (\alpha) 是电阻温度系数，(R_0) 是 (0^{\circ}C) 时的电阻。

导体中的温度分布 (x(z, t)) 可以用以下方程描述：
[
\begin{cases}
ap\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} = \frac{\partial^2 x(z, t)}{\partial z^2} + Q(z, t) \
x(z, 0) = x_p \
t \geq 0, x(0, t) = x_p \
x(L, t) = x_p \
0 \leq z \leq L
\end{cases}
]
其中，热源密度 (Q(z, t)) 是一个非线性函数，表达式为 (Q(z, t) = 860b(z)R_0[1 + \alpha x(z, t)]I(t)^2)，函数 (b(z)) 是一个具有紧支撑的适当函数，它是通过实验确定的，目的是加强导体中间部分（(z_s = L/2)）的加热，同时也能考虑到热导率系数非线性所导致的复杂热效应。

通过对空间变量 (z) 和时间 (t) 进行离散化，得到合适的差分格式进行数值计算。计算结果非常理想，并且通过实际实验得到了验证。相关计算机模拟结果如图 5、6 和 7 所示。图 5 展示了在控制最终时刻 (t_k = 2) 和初始时刻 (t_0) 时，导体沿长度方向的温度趋势 (x(z, t_k))；图 6 呈现了导体中点的温度图 (x(L/2, t))；图 7 则是控制电流图 (I(t))。

所有计算均在 (w = 2) 的条件下进行，该参数决定了非线性函数 (b(z)) 的宽度（支撑），而函数 (b(z)) 体现了热导率系数非线性对加热过程的影响。系数 (w) 是通过对实际对象的测量，利用最小二乘法确定的。

可以采用数学最优控制方法来寻找控制算法。图 7 中提出了一种实验控制方法，其结果如 图 5 所示的温度变化。随后，在导体中间维持了预设温度 (1000^{\circ}C)（见图 6）。在棒材长度中间实现温度稳定，使得能够进行适当的塑性测试。棒材两端的温度保持恒定（室温，约 (20^{\circ}C)），因此供给的能量使棒材中间温度显著升高，使材料接近其熔化极限。通过电流 (I(t)) 控制加热过程，目的是提高棒材的塑性，但避免其完全熔化。在 (z = L/2) 处实现温度稳定，确保了导体不会因温度过高而熔化。

2. 相变前沿控制

考虑单层 Stefan 问题（具有自由边界），需要寻找时间函数 (g(t))（(g(0) = z_N)，(z_N) 是相变前沿 (g(t)) 的初始位置）和描述温度的时空函数 (x(z, t))，使得在区域 (0 \leq z \leq g(t))，(t \geq 0) 及其边界上满足以下条件：
[
\begin{cases}
\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 x(z, t)}{\partial z^2}, z \in [0, g(t)], t \geq 0 \
g(0) = z_N \
\lambda\frac{\partial x(0, t)}{\partial z} = -\alpha(u(t) - \gamma x(0, t)) \
x(z, 0) = \phi(z), z \in [0, z_N] \
k\frac{\partial x(z, t)}{\partial z}\big|_{z = g(t)} = \rho q\frac{dg(t)}{dt} \
x(g(t), t) = 0
\end{cases}
]
其中，(a^2 = k/(c\rho)) 是热传导系数，(\lambda) 是热交换系数，(\alpha) 是外部传导系数，(\rho) 和 (q) 分别是相变热系数和凝固物质的密度，(c) 是比热容，(k) 是热导率。辅助系数 (\gamma) 根据所考虑的边界条件取值为 1 或 0。

若 (\phi(z)) 和 (u(t) - x(0, t) < 0)，上述条件可以描述初始厚度为 (z_N) 的层在恒定相变温度为零的情况下的简化凝固过程。

为了进行数值计算，将空间变量以恒定步长 (h = z_N/N) 进行离散化（(N) 是预设的自然数）。经过整理，得到以下差分图：
[
\begin{cases}
x[j] = [I - \tau(j - 1)A]^{-1}[x[j - 1] + \tau(j - 1)Bu[j]] \
\tau(j - 1) = -\frac{\rho qh^2/k}{x[N + j - 2, j - 1]}
\end{cases}
]
其中，(j = 1, 2, \cdots, N_N)，(x[0]) 由初始分布 (\phi(z) < 0) 确定。例如，当 (N + j - 1 = 7)，(j = 4)，(N = 4) 时：
[
A = \frac{a^2}{h^2}
\begin{bmatrix}
F & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
B = \frac{a^2}{h^2}
\begin{bmatrix}
G \
0 \
0 \
0 \
0 \
0 \
0
\end{bmatrix}
]
其中，(F = \frac{\lambda}{\lambda + \alpha h\gamma})，(G = \frac{\alpha h}{\lambda + \alpha h\gamma})。

也可以通过适当改变温度 (u(t)) 来控制相变前沿。对于由上述条件描述的单层相变问题，初始厚度为 (z_N) 的层在左侧通过控制 (u(t) < 0) 进行冷却。可以使用图 9 所示的控制系统来控制相变，该控制系统是通过 Lyapunov 泛函方法得到的，控制器形式为 (u(t) = Kx(0, t))（(K > 0)）。

图 10 和 11 分别展示了在 (N = 5)，(N_N = 20)，(K = 1.5) 和 (K = 1.8) 时，根据差分格式（15）、（16）和（19）得到的前沿位置模拟结果。这些结果表明，凝固前沿速度取决于控制器的增益系数 (K)，凝固前沿速度的变化对凝固材料的结构缺陷有着根本性的影响。更详细的模拟显示，只有在 (K) 的一定变化范围内才能得到正确的结果。由于数值格式（16）在某些情况下不稳定，导致计算结果可能出现错误，因此还需要进一步研究。

3. 炉内薄板加热

以炉内薄板加热为例，展示了 L - Q 问题在冶金中的实际应用。在冶金中，存在控制加热炉内温度分布的问题。在加热炉入口处，薄板由连续铸钢系统供给，这些系统能提供尺寸相同的薄板，便于后续加热过程。我们关注的是加热炉出口处的温度稳定 (x(l, t))。

对于“薄”板，以下偏微分方程（“传输”方程）是该过程的良好数学模型：
[
\begin{cases}
b(z, t)\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} + b(z, t)v(t)\frac{\partial x(z, t)}{\partial z} + x(z, t) = u(z, t) \
x(0, t) = x_p(t) \
x(z, 0) = x_0(z)
\end{cases}
]
其中，(z) 是一维空间变量，(t) 是时间，(b(z, t)) 是适当的热导率系数，(v(t)) 是薄板通过加热炉的传输速度，(u) 是通过调节炉内燃气燃烧器火焰温度来实现的空间和时间上的温度分布控制。Biot 数 (Bi = \frac{\alpha S}{\lambda}) 用于确定薄板厚度，当 (Bi \leq 0.25) 时，薄板可称为“薄”板。

在实际应用中，有两种建模方法：构建非常精确的数学模型或构建尽可能简单的模型。使用精确模型得益于计算机强大的计算能力；而简化模型虽然不损失实际对象的重要特性，但在认知上更有意义，并且能使控制算法在实时应用中更有效。

控制的目标是根据当前温度分布，稳定加热炉内部和出口处的温度。设 (g) 是沿加热炉长度选定位置的近似期望温度分布，实现该目标的控制系统综合函数形式为：
[
u(t) = -R(t)^{-1}B(t)^T{K(t)[x(t) - \beta(t)] + k(t)}
]
其中，(K(t)) 是 Riccati 微分方程的解：
[
\begin{cases}
\dot{K}(t) = K(t)B(t)R(t)^{-1}B(t)^TK(t) - A(t)^TK(t) - K(t)A(t) - C(t)^TC(t) \
K(T_k) = E^TE \
t \in [0, T_k] \
K(t)^T = K(t) \geq 0
\end{cases}
]
时间函数 (k(t)) 由以下方程确定：
[
\begin{cases}
\dot{k}(t) = [K(t)B(t)R(t)^{-1}B(t)^T - A(t)^T]k(t) - C(t)^T[g(t) + C(t)\beta(t)] \
k(T_k) = E^T[E\beta(T_k) + e]
\end{cases}
]
函数 (\beta(t)) 是以下微分方程的解：
[
\begin{cases}
\dot{\beta}(t) = A(t)\beta(t) + f(t) \
\beta(0) = 0
\end{cases}
]
等式（21）定义了一个仿射、非定常的最优控制器，其目的是最小化以下成本函数：
[
J(u; T_k) = E \cdot x(T_k) + e^2 + \int_{0}^{T_k}[C(t)x(t) + g(t)^2 + R(t)u(t)^2]dt
]
约束条件是模型（20）的有限维近似线性微分方程：
[
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t)
]

例如，当 (n = 3) 时，可以假设：
[
E = C(t) =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -\gamma
\end{bmatrix},
g(t) =
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
x^*(t)
\end{bmatrix},
e = g(T_k)
]
在等式（26）中，使用适当的差商，可以假设：
[
A(t) =
\begin{bmatrix}
a_1(t) & 0 & 0 \
c(t) & a_2(t) & 0 \
0 & c(t) & a_3(t)
\end{bmatrix},
B(t) =
\begin{bmatrix}
b_1(t)^{-1} & 0 & 0 \
0 & b_2(t)^{-1} & 0 \
0 & 0 & b_3(t)^{-1}
\end{bmatrix}
]
其中，(a_i(t) = -\frac{1}{b_i(t)} - c(t))，(c(t) = \frac{v(t)}{h})，(b_i(t) = b(ih, t))，(f(t) = [c(t) \ 0 \ 0 \ 0 \ 0]^Tx_p(t))。

基于依赖于加热炉出口温度测量的函数 (f(t))、炉内温度测量 (x(t))、已知的预设期望温度分布 (g(t)) 以及加热炉出口设定温度 (e)，控制器（21）生成控制 (u(t))，用于指定沿加热炉长度布置的燃烧器火焰温度。

在实际中，无法测量整个加热炉内的温度，只能在选定的空间点进行测量，系统输出 (y(t) = C(t)x(t) = x_n(t)) 可供测量。在这种情况下，可以使用 Luenberger 观测器渐近地重建系统状态。基于控制 (u(t)) 和输出 (y(t) = C(t)x(t)) 的测量值，观测器生成状态估计 (\hat{x}(t))（当 (t \to \infty) 时，(\hat{x}(t) \to x(t))），此时控制器（21）可以替换为以下反馈：
[
u(t) = -R(t)^{-1}B(t)^T[K(t)(\hat{x}(t) - \beta(t)) + k(t)]
]

在定常情况下（(T_k \to \infty)），如果相关矩阵和向量 (A)、(B)、(C)、(R)、(E = 0)、(g)、(e = 0) 是实数且为常数，并且对 ((A; B)) 是可稳定的，对 ((C; A)) 是可检测的，则 (K(t) \to K = const)，其中 (K) 是 Riccati 代数方程 (KBR^{-1}B^TK - A^TK - KA - C^TC = 0)（(K = K^T \geq 0)）的唯一解，并且闭环系统的状态矩阵是指数稳定的（闭环系统状态矩阵的特征值具有负实部）。

给出了定常情况下的数值计算示例，使用 Matlab/Simulink 获得了代数 Riccati 方程（33）的数值解。计算假设 (E = 0)，(\gamma = -1)，(l = 1)，(b = 100)，(v = 0.1)，(R = 1)。当 (n = 3) 时，得到 (K) 矩阵为：
[
K =
\begin{bmatrix}
0.0351 & 0.0427 & 0.0281 \
0.0427 & 0.0924 & 0.1506 \
0.0281 & 0.1506 & 0.7257
\end{bmatrix},
K = 0.7615
]
闭环系统矩阵 (A - BR^{-1}B^TK) 的特征值为 ({-1.0035, -0.3899 + 0.1066j, -0.3899 - 0.1066j})，这些特征值具有负实部，所以闭环系统是渐近稳定的。图 14 分别展示了 (u(t) = 0)（星号）和最优控制（圆圈）情况下加热炉出口的温度图 (y(t) = x_n(t))。控制信号形式为 (u_0(t) = -R^{-1}B^TKx_0(t))（(x^*(t) = 0)），成本函数 (J(0) = 6.3607)，(J(u_0) = 0.6478)，可见所应用的控制系统显著改善（降低）了成本函数（25）。

4. 分数阶模型

热过程一直是应用科学研究的焦点。随着 IT 工具的发展，能够采用新的数学模型来描述热过程以及其他相关过程，如扩散、扩散与湍流等。近年来，分数阶微分方程形式的模型受到了广泛关注。分数阶积分和微分微积分最早可能在 1695 - 1822 年间由 de l’Hospital、Leibniz、Newton、Euler 和 Laplace 引入并使用，其理论和应用在 19 世纪和 20 世纪得到了进一步发展。

由于 IT 工具的进步，近年来许多研究人员对分数阶微分方程产生了兴趣，这些方程在质量传输、各种流动、材料中的温度分布、扩散、分散、超级电容器等众多应用中都有出现。分数阶系统的数值解算法也得到了发展，并且在 Matlab/Simulink 等软件包中普遍可用。分布式参数系统采用了各种建模方法，例如电链系统常用于热系统建模。

分数阶对流 - 扩散方程可用于模拟多孔材料中的液体流动，其形式为：
[
\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = K_{\alpha}\frac{\partial^{\alpha} u(x, t)}{\partial |x|^{\alpha}} + K_{\beta}\frac{\partial^{\beta} u(x, t)}{\partial |x|^{\beta}},
0 \leq t \leq T,
0 < x < L,
1 < \alpha < 2,
0 < \beta < 1,
K_{\alpha} \neq 0,
K_{\beta} \neq 0
]
在这类偏微分方程中，还需额外指定初始条件 (u(x, 0) = g(x)) 和边界条件，例如 (u(0, t) = u(L, t) = 0)。其中，(u(x, t)) 是溶解物质浓度，(K_{\alpha}) 是扩散系数，(K_{\beta}) 是平均流体速度，(x) 是空间变量，(t) 是时间。

Riesz 分数阶方程常用于描述扩散过程：
[
\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = K_{\alpha}\frac{\partial^{\alpha} u(x, t)}{\partial |x|^{\alpha}},
0 \leq t \leq T,
0 < x < L,
1 < \alpha < 2,
K_{\alpha} \neq 0
]
同样需要指定初始条件 (u(x, 0) = g(x)) 和边界条件 (u(0, t) = u(L, t) = 0)。通过测量适当的量，利用识别方法（通常采用最小二乘法的各种改进形式）可以确定所考虑系统的分数阶 (\alpha)。

一些研究将数学模型（1）替换为以下分数阶 (\alpha)、(\beta) 的边界问题：
[
\begin{cases}
\frac{\partial^{\alpha} x(z, t)}{\partial t^{\alpha}} = a\frac{\partial^{\beta} x(z, t)}{\partial z^{\beta}} - Rax(z, t) + b(z)u(t) \
t \geq 0, z \in [0, 1] \
\frac{\partial x(z, t)}{\partial z}\big| {z = 0} = \frac{\partial x(z, t)}{\partial z}\big| {z = 1} = 0 \
t \geq 0 \
x(z, 0) = 0, z \in (0, 1) \
y(t) = \int_{0}^{1} c(z)x(z, t)dz
\end{cases}
]
分数阶微积分还可用于修改使用 PID 控制器的经典控制系统，通过将积分和微分作用的整数阶替换为分数阶来实现。

综上所述，热传导过程的建模与控制是一个复杂而重要的研究领域，涉及多个方面的知识和技术。从导体加热到相变前沿控制，再到炉内薄板加热以及分数阶模型的应用，每个方面都有其独特的理论和方法。随着科技的不断发展，热传导过程的建模与控制将在更多领域得到应用和发展。

以下是热传导过程相关内容的流程图：

graph LR
    A[导体电流加热] --> B[计算热量与温度分布]
    B --> C[数值计算与实验验证]
    C --> D[温度控制与应用]
    A --> E[相变前沿控制]
    E --> F[建立数学模型]
    F --> G[离散化与差分计算]
    G --> H[控制与模拟结果分析]
    E --> I[炉内薄板加热]
    I --> J[选择数学模型]
    J --> K[确定控制目标与函数]
    K --> L[状态重建与控制优化]
    I --> M[分数阶模型应用]
    M --> N[分数阶方程建模]
    N --> O[参数识别与系统分析]
    O --> P[控制系统修改与应用]

以下是不同热传导过程相关参数的表格：
| 过程 | 关键参数 | 表达式或含义 |
| — | — | — |
| 导体电流加热 | (Q) | 热量，(Q = 860RI^2t) |
| | (R(x)) | 电阻与温度关系，(R(x) = R_0(1 + \alpha x)) |
| | (Q(z, t)) | 热源密度，(Q(z, t) = 860b(z)R_0[1 + \alpha x(z, t)]I(t)^2) |
| 相变前沿控制 | (a^2) | 热传导系数，(a^2 = k/(c\rho)) |
| | (\lambda) | 热交换系数 |
| | (\alpha) | 外部传导系数 |
| | (\rho)、(q) | 相变热系数和凝固物质密度 |
| 炉内薄板加热 | (Bi) | Biot 数，(Bi = \frac{\alpha S}{\lambda}) |
| | (K(t)) | Riccati 微分方程解 |
| | (k(t))、(\beta(t)) | 反馈参数 |
| 分数阶模型 | (K_{\alpha})、(K_{\beta}) | 分数阶方程系数 |
| | (\alpha)、(\beta) | 分数阶 |

热传导过程的建模与控制

各部分内容总结与对比

为了更清晰地理解热传导过程不同方面的特点，我们对上述各部分内容进行总结与对比，如下表所示：
| 过程 | 核心方程 | 关键参数 | 控制目标 | 应用场景 |
| — | — | — | — | — |
| 导体电流加热 | (ap\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} = \frac{\partial^2 x(z, t)}{\partial z^2} + Q(z, t)) | (R(x)=R_0(1 + \alpha x))，(Q(z, t)=860b(z)R_0[1 + \alpha x(z, t)]I(t)^2) | 稳定导体中间温度，提高塑性 | 金属加工中棒材加热 |
| 相变前沿控制 | (\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 x(z, t)}{\partial z^2})等 | (a^2 = k/(c\rho))，(\lambda)，(\alpha)等 | 控制相变前沿速度 | 材料凝固过程 |
| 炉内薄板加热 | (b(z, t)\frac{\partial x(z, t)}{\partial t} + b(z, t)v(t)\frac{\partial x(z, t)}{\partial z} + x(z, t) = u(z, t)) | (Bi=\frac{\alpha S}{\lambda})，(K(t))等 | 稳定加热炉出口温度 | 冶金行业薄板加热 |
| 分数阶模型 | (\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = K_{\alpha}\frac{\partial^{\alpha} u(x, t)}{\partial |x|^{\alpha}} + K_{\beta}\frac{\partial^{\beta} u(x, t)}{\partial |x|^{\beta}})等 | (K_{\alpha})，(K_{\beta})，(\alpha)，(\beta) | 描述复杂热传导现象 | 多孔材料液体流动等 |

从这个表格中可以看出，不同的热传导过程有不同的核心方程和关键参数，其控制目标和应用场景也各有差异。

实际应用中的注意事项

在实际应用热传导过程的建模与控制技术时，需要注意以下几点：
1. 参数测量与确定 ：无论是导体加热中的电阻温度系数 (\alpha)，还是相变前沿控制中的热交换系数 (\lambda) 等，准确测量和确定这些参数是建立准确模型的基础。可以采用实验测量、最小二乘法等方法来获取这些参数。
2. 数值计算的稳定性 ：在进行数值计算时，如导体加热和相变前沿控制中的差分格式计算，要注意数值格式的稳定性。例如，相变前沿控制中的数值格式（16）在某些情况下不稳定，可能导致计算结果错误，需要进行适当的调整和验证。
3. 模型的选择与简化 ：对于炉内薄板加热等过程，有精确模型和简化模型可供选择。在实际应用中，要根据具体情况权衡利弊。如果计算资源充足且需要高精度结果，可以选择精确模型；如果更注重实时性和对本质的理解，可以选择简化模型。
4. 控制系统的设计与调整 ：设计控制系统时，要根据控制目标和实际情况选择合适的控制算法和参数。例如，在炉内薄板加热中，要根据期望温度分布 (g) 来确定控制函数 (u(t)) 的参数。同时，要对控制系统进行实时调整和优化，以适应实际过程中的变化。

未来发展趋势

随着科技的不断进步，热传导过程的建模与控制领域将呈现以下发展趋势：
1. 多物理场耦合建模 ：热传导过程往往与其他物理场相互作用，如电磁场、流场等。未来的研究将更加注重多物理场耦合建模，以更准确地描述实际过程。例如，在金属加工中，考虑电流、磁场和热场的耦合作用，能够更好地控制材料的性能。
2. 智能控制与优化 ：引入人工智能和机器学习技术，实现热传导过程的智能控制和优化。通过对大量实验数据的学习，智能控制系统可以自动调整控制参数，提高控制的精度和效率。例如，利用神经网络算法优化炉内薄板加热的控制策略。
3. 微观尺度热传导研究 ：随着纳米技术和微机电系统的发展，微观尺度的热传导问题变得越来越重要。未来将深入研究微观尺度下的热传导机制，建立相应的模型和控制方法，为微纳器件的设计和制造提供支持。
4. 绿色节能应用 ：在能源危机和环境保护的背景下，热传导过程的建模与控制将更加注重绿色节能应用。例如，优化加热炉的加热策略，减少能源消耗，降低环境污染。

以下是热传导过程实际应用与未来发展的流程图：

graph LR
    A[实际应用] --> B[参数测量与确定]
    B --> C[数值计算与稳定性验证]
    C --> D[模型选择与简化]
    D --> E[控制系统设计与调整]
    A --> F[未来发展趋势]
    F --> G[多物理场耦合建模]
    F --> H[智能控制与优化]
    F --> I[微观尺度热传导研究]
    F --> J[绿色节能应用]
    E --> K[持续改进与优化]
    K --> F

总之，热传导过程的建模与控制是一个充满挑战和机遇的研究领域。通过不断深入研究和技术创新，我们能够更好地理解和控制热传导过程，为各个领域的发展提供有力支持。在实际应用中，要充分考虑各种因素，确保模型的准确性和控制系统的有效性。同时，关注未来发展趋势，积极探索新的研究方向，推动热传导过程建模与控制技术的不断进步。