工程师 - 卷积的数学定义

卷积(Convolution)是数学、信号处理、图像处理和深度学习中至关重要的运算,其核心思想是通过两个函数的“翻转-平移-叠加”操作,描述它们之间的相互作用关系。以下从不同领域出发,用通俗语言和示例解释卷积的本质与应用。

数学定义:连续与离散卷积

卷积的数学定义是两个函数 f(t) 和 g(t) 的积分运算,描述其中一个函数在另一个函数上的“翻转和平移”叠加效果。

1. 连续卷积

对于连续函数 f(t) 和 g(t),其卷积 (f∗g)(t) 定义为:

  • 关键操作:

    • 翻转:将 g(τ) 关于 τ=0 翻转,得到 g(−τ);

    • 平移:将翻转后的 g(−τ) 向右平移 t 个单位,得到 g(t−τ);

    • 叠加:将 f(τ) 与平移后的 g(t−τ) 逐点相乘,再对所有 τ 积分求和。

2. 离散卷积

实际应用中(如数字信号、图像),函数是离散的,卷积简化为求和运算。对于两个长度为 N 的离散序列 f[n] 和 g[n],其卷积 (f∗g)[k] 定义为:

  • 关键操作:

    • 翻转:将 g[n] 翻转得到 g[−n];

    • 平移:将翻转后的 g[−n] 平移 k 个单位,得到 g[k−n];

    • 叠加:将 f[n] 与平移后的 g[k−n] 对应点相乘,再求和(仅取有效重叠部分)。

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