poj3904&&SP4191 Sky Code

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容斥原理+Möbius函数解决数论相关问题

Description

多组询问：给定$n$个数$a_i(n,a_i\le 10^4)$，试求${\sum }_{a,b,c,d\in a}[gcd(a,b,c,d)==1]$

Solution

有了解决p3455的基础，我们不难推导此题的解法。

设$d_i$为$a$中被$d$整除的数的个数，我们利用类似埃氏筛的方法求出$d_1\sim d_n$，接下来直接套用p3455的容斥思路与公式可得：
​ ans=∑i=1max{ai}μ(i)Cdi4ans=\sum_{i=1}^{max\{a_i\}}\mu(i)C_{d_i}^{4}ans=i=1∑max{ai​}​μ(i)Cdi​4​

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN=1e4;
int n,miu[MAXN+20],prime[MAXN],cnt,a[MAXN+20],maxn,scnt[MAXN+20];
ll ans;
bool notprime[MAXN+20],vis[MAXN+20];

void Mobius()
{
	miu[1]=1,notprime[1]=true;
	for(ri i=2;i<=MAXN;++i)
	{
		if(!notprime[i]) prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
		for(ri j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=MAXN;++j)
		{
			notprime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
			else miu[i*prime[j]]=-miu[i];
		}
	}	
}

int main()
{
	Mobius();	
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		memset(scnt,0,sizeof(scnt)); 
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		maxn=0,ans=0LL;
		for(ri i=1;i<=n;++i)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			maxn=max(maxn,a[i]); vis[a[i]]=1;
		}
		scnt[1]=n;
		for(ri i=2;i<=maxn;++i)
			for(ri j=1;i*j<=maxn;++j)
				if(vis[i*j]) ++scnt[i];
		for(ri i=1;i<=maxn;++i)
			if(scnt[i]>=4) ans+=(ll)miu[i]*(ll)(scnt[i]-3)*(ll)(scnt[i]-2)*(ll)(scnt[i]-1)*(ll)scnt[i]/24LL;
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}