数论分块&&P2261 [CQOI2007]余数求和

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数论分块

Description

给定正整数$n,k(n,k\le 10^9)$，求${\sum }_{i=1}^{n}k$ $mod$ $i$

Solution

前置引理：

引理1：$\forall a,b,c\in \mathbb{Z},\lfloor \frac{a}{bc}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor \frac{a}{b}\rfloor }{c}\rfloor$

（此处没用到，以后推式子会用）

引理2：∀n∈N+,∣{⌊nd⌋∣d∈N+,d≤n}∣≤2n\forall n\in\N^{+},|\{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor|d\in \N^+,d\le n\}| \le2\sqrt n∀n∈N+,∣{⌊dn​⌋∣d∈N+,d≤n}∣≤2n​

证明：对于$d\le \lfloor \sqrt{n}\rfloor ,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$至多有$\sqrt{n}$种取值；而对于$d>\sqrt{n}$，此时有$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \le \sqrt{n}$，最多也只有$\sqrt{n}$种取值，证毕。

数论分块

数论分块一般用来解决含有$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$的求和式子。对于任意一个$i$，我们需要$O(1)$求出最大的$j$使得$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\lfloor \frac{n}{j}\rfloor$。

Problem:求${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$

引理$3$：设$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =k$，则max{j∣⌊nj⌋=k}=⌊n⌊ni⌋⌋max\{j|\lfloor\frac{n}{j}\rfloor=k\}=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloormax{j∣⌊jn​⌋=k}=⌊⌊in​⌋n​⌋

证明：$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =k\leftrightarrow k\le \frac{n}{i}<k+1\leftrightarrow \frac{n}{k+1}<i\le \frac{n}{k}$

又由于$i$为正整数，故$i\le \frac{n}{k}\leftrightarrow i\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor =\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\rfloor$，所以$i$的取值上界为$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\rfloor$。

利用引理2、3，我们可以$O(\sqrt{n})$将$[1,n]$分成大约$2\sqrt{n}$块，每一块$O(1)$求和即可。

对于此题

${\sum }_{i=1}^{n}k$ $mod$ $i$$={\sum }_{i=1}^n(k-i\lfloor \frac{k}{i}\rfloor )=nk-{\sum }_{i=1}^{n}i\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$

对于${\sum }_{i=1}^{n}i\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$，由于分块后每块对应区间内$\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$值不变，故等差数列求和后乘以$\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$便是此分块对答案的贡献。

算法时间复杂度$O(\sqrt{n})$

拓展：二维数论分块

求${\sum }_{i=1}^{min(m,n)}\lfloor \frac{m}{i}\rfloor \lfloor \frac{n}{i}\rfloor$。

此时将代码中 r = n/(n/i)替换成 r = min(n/(n/i), m/(m/i))即可（此时划分的块区间内$\lfloor \frac{m}{i}\rfloor ,\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$值显然不变，最多分成$4\sqrt{n}$块）。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;

ll n,k,l,r,ans;

int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>k;
	l=1,ans=n*k;
	while(l<=n)
	{
		if(k/l==0) break;
		r=k/(k/l);
		if(r>n) r=n;
		ans-=(k/l)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2);
		l=r+1;//分块时块的划分的移动
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}