#莫比乌斯函数，容斥定理#POJ 3904 SP4191 Sky Code

最新推荐文章于 2022-04-15 17:37:55 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-15 17:37:55 发布 · 204 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#POJ 3904 Sky Code #SP4191 Sky Code

反演同时被 3 个专栏收录

21 篇文章

订阅专栏

排列组合

21 篇文章

订阅专栏

容斥定理

19 篇文章

订阅专栏

博客围绕给定n个数（n≤10000，每个数≤10000），求解满足四个数最大公约数等于1的四元组数量的问题展开。采用容斥原理，用全部方案减去不合法方案，结合莫比乌斯函数得出答案为∑k=4t(−1)cnt[k]Ck4 。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

给定 $n$ 个数，现在让你求出有多少个四元组，满足这四个数的最大公约数等于1。
$n≤10000n\leq 10000$ ,每个数 $≤10000\leq 10000$ 。
多组询问，对于每个询问回答多少个四元组满足条件

分析

直接等于1很难，可以考虑容斥，就是用全部的方案减去不合法的方案，质因数有奇数个为负，偶数个为正，但是当质因数的指数超过1时会重复，所以无需考虑，细细一想，莫比乌斯函数？？？，嗯答案就是 $∑k=4t(−1)cnt[k]Ck4\sum_{k=4}^{t}(-1)^{cnt[k]}C_{k}^{4}$

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define rr register
using namespace std;
const int N=10001;
typedef long long ll; ll c[N]; bool v[N];
int mu[N],prime[1231],cnt[N],tot,n;
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans; 
}
signed main(){
	mu[1]=1;
	for (rr int i=2;i<N;++i){
		if (!v[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (rr int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<N;++j){
			v[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			    else break;
		}
	}
	for (rr int i=4;i<N;++i) c[i]=1ll*i*(i-1)*(i-2)/3*(i-3)>>3;
	while (scanf("%d",&n)==1){
		memset(cnt,0,sizeof(cnt)); rr ll ans=0;
		for (rr int i=1;i<=n;++i) ++cnt[iut()];
		for (rr int i=1;i<N;++i)
		for (rr int j=i<<1;j<N;j+=i)
		    cnt[i]+=cnt[j];
		for (rr int i=1;i<N;++i)
		if (cnt[i]>3) ans=ans+c[cnt[i]]*mu[i];
		printf("%lld\n",ans);
	} 
	return 0;
}