41、高级利率模型及其推广：参数局部波动率模型解析

高级利率模型及其推广：参数局部波动率模型解析

1. 凸性调整与波动率的关系

在金融领域，凸性调整对衍生品价格的影响至关重要。如图所示，凸性与波动率之间存在着紧密的联系。通过布雷登 - 利曾伯格方法，可以得到如下等式：
[
E_{T_i} \left[ \ell_i^2(T_{i - 1}) \big| \mathcal{F}(t_0) \right] = \ell_i^2(t_0) + 2 \int_0^{\ell_i(t_0)} V_p(t_0, \ell_i(t_0); y, T_{i - 1}) dy + 2 \int_{\ell_i(t_0)}^{\infty} V_c(t_0, \ell_i(t_0); y, T_{i - 1}) dy
]
其中，(V_p(t_0, \ell_i(t_0); y, T)) 和 (V_c(t_0, \ell_i(t_0); y, T)) 分别是利率 (\ell_i(T_{i - 1})) 上执行价格为 (y) 的看跌期权（即下限期权 (V_{FL}^i(t_0))）和看涨期权（即上限期权 (V_{CPL}^i(t_0))）的价值（未贴现）。

从图中可以清晰地看到波动率对凸性的影响，这对于理解衍生品价格的变化具有重要意义。

2. 参数局部波动率模型的背景与动机

对于复杂衍生品交易者而言，利率模型能否复制未来隐含波动率曲面的变化是一项重要要求。多年来，对数正态伦敦同业拆借利率市场模型（LMM）一直是利率衍生品的基准模型。然而，该模型存在局限性，无法准确模拟货币市场中观察到的利率微笑/偏斜形状的隐含波动率曲线。

在对对数正态市场模型进行校准后，虽然对平价（ATM