40、高级利率模型及其推广解读

高级利率模型及其推广解读

1. 利率模型基础概念

在利率模型的研究中，我们常常会遇到与伦敦银行同业拆借利率（Libor）相关的内容。这里涉及到的符号 (W_i^i) ，下标 (i) 代表特定的 Libor 利率，上标则代表相应的测度。需要明确的是，只有第 (i) 个 Libor 利率 (\ell_i(t)) 在 (Q^i) 远期测度下是鞅。若要表示 Libor 利率 (\ell_i(t)) 在 (T_j) 远期测度（(i \neq j)）下的动态，其表达式为：
[d\ell_i(t) = \overline{\mu}_i^j(t)dt + \overline{\sigma}_i(t)dW_i^j(t)]
其中，(\overline{\mu}_i^j(t)) 是一个非零的漂移项，其具体形式会依赖于测度 (Q^j) 。

2. HJM 框架下的 Libor 市场模型

2.1 零息债券与瞬时远期利率的关系

任何零息债券 (P(t, T)) 都能通过以下关系与瞬时远期利率 (f_r(t, T)) 直接关联：
[P(t, T) = \exp\left(-\int_t^T f_r(t, z)dz\right)]
由此，我们也能将 (\ell_i(t)) 与瞬时远期利率联系起来：
[\tau_i\ell_i(t) + 1 = \frac{P(t, T_{i - 1})}{P(t, T_i)} = \exp\left(\int_{T_{i - 1}}^{T_i} f_r(t, z)dz\right)]

2.2 推导 Libor 利率的动态方程

对上述等式求微分，通过一系列推导（