9、局部波动率模型：理论与实践应用

局部波动率模型：理论与实践应用

1. 布莱克 - 斯科尔斯隐含波动率

当资产价格通过具有恒定波动率 σ 的几何布朗运动（GBM）建模时，布莱克 - 斯科尔斯模型为该标的资产的期权合约提供了唯一的公允价值。期权价格是股票波动率的单调递增函数，高波动率意味着期权在到期日处于实值（ITM）的概率更高，因此期权相对更昂贵。

1.1 隐含波动率的概念

在金融市场中，欧洲期权有时会以所谓的隐含波动率来报价，而非常见的买卖期权价格。布莱克 - 斯科尔斯隐含波动率被视为一种表达期权价格的“语言”。

对于给定的利率 r、到期时间 T 和执行价格 K，我们有股票 S 的市场看跌和看涨期权价格，分别记为 $V_{mkt}^p(K, T)$ 和 $V_{mkt}^c(K, T)$。聚焦于看涨期权，布莱克 - 斯科尔斯隐含波动率 $\sigma_{imp}$ 是使得下式成立的 σ 值：
[V_c(t_0, S; K, T, \sigma_{imp}, r) = V_{mkt}^c(K, T)]
其中 $t_0 = 0$。隐含波动率 $\sigma_{imp}$ 被定义为插入到布莱克 - 斯科尔斯解中的波动率参数，该参数能在 $t_0 = 0$ 时重现市场期权价格 $V_{mkt}^c(K, T)$。

• 牛顿 - 拉夫逊迭代法 ：由于没有关于期权价格的隐含波动率的一般闭式表达式，需要采用数值技术来确定其值。常用的方法是牛顿 - 拉夫逊求根迭代法。上述问题可重新表述为求根问题：
  [g(\sigma_{imp}) := V_{mkt}^c(K, T) - V_c(t_0 = 0,