42、高级利率模型及其推广：后危机时代的金融变革与应对

高级利率模型及其推广：后危机时代的金融变革与应对

1. 利率衍生品定价基础

在金融市场中，利率衍生品的定价是一个复杂而关键的问题。对于某些利率衍生品，如 caplets 和 floorlets，其价格计算有着特定的公式。例如，价格公式（14.62）经过基本运算后可转化为：
[V_{CPL/FL}^i(t_0) = N_i\tau_iP(t_0, T_i)E_{T_i} \left[ \max(\bar{\alpha}(\ell_i(T_{i - 1}) - K), 0) \big| \mathcal{F}(t_0) \right]]
这里的 Libor 利率 $\ell_i(t)$ 在其自然测度（即 $T_i$ - 远期测度）下是一个鞅。在 SV - LMM 模型下，caplets 和 floorlets 的定价通过将位移扩散模型与 Heston 模型动态相联系来实现，同时需要考虑一些参数的修改。

SV - LMM 模型与 Heston 模型通过以下方程相关联：
[\jmath_i(t) = \frac{\ell_i(t) + (1 - \beta)\ell_i(t_0)}{\beta}]
定价方程则为：
[V(t_0) = N_i\tau_iP(t_0, T_i)E_{T_i} \left[ \max\left( \bar{\alpha}\left( \jmath_i (T_{i - 1}) - \frac{(1 - \beta)\ell_i(t_0)}{\beta} - K \right), 0 \right) \big| \mathcal{F}(t_0) \right]]
[= N_i\tau_iP(t_0, T_i)E_{T_i}