21、随机波动率模型：Heston模型深度解析

随机波动率模型：Heston模型深度解析

1. 时间变换与布朗运动

在金融模型中，时间变换起着重要作用。考虑时间变换 $\bar{\nu}(t) = (1 - \rho^2)\int_{0}^{t} \sigma^2(z)dz$，在此“时钟”下的布朗运动与 $\sqrt{1 - \rho^2}\int_{0}^{t} \sigma(z)dW(z)$ 具有相同的分布，即：
$dW(\bar{\nu}(t)) = \sqrt{1 - \rho^2}\sigma(t)dW(t)$
其积分形式为：
$W(\bar{\nu}(t)) = \int_{0}^{\bar{\nu}(t)} dW(t) = \sqrt{1 - \rho^2}\int_{0}^{t} \sigma(z)dW(z)$
时间变换不仅改变了相应的布朗运动，还改变了漂移项中的时间，因为 $d\bar{\nu}(t) = (1 - \rho^2)\sigma^2(t)dt$。

2. Heston随机波动率模型

2.1 模型方程

Heston随机波动率模型包含两个随机微分方程，分别描述标的资产价格 $S(t)$ 和方差过程 $v(t)$，在风险中性测度 $Q$ 下表示为：
$\begin{cases}
dS(t) = rS(t)dt + \sqrt{v(t)}S(t)dW_{x}^{Q}(t), & S(t_0) = S_0 > 0 \
dv(t) = \kappa(\bar{v} - v(t))dt + \gamma\sqrt{v(t)}dW_{v}^{Q}(t), & v(t_0) = v_0 >