8、布莱克 - 斯科尔斯期权定价方程解读

布莱克 - 斯科尔斯期权定价方程解读

1. 密度与蝶式价差期权的关系

在金融领域，存在一个与蝶式价差期权相关的表达式，其中涉及到狄拉克δ函数(\delta(S(T) - K))，该函数仅在(S(T) = K)时非零，(f_{S(T, K; t_0, S_0)})是当(S(T) \equiv K)时的转移风险中性密度。转移密度用于模拟概率密度随时间的演变，例如在时间点(s)和(t)之间。这里我们设定时间点(s = t_0)，这实际上产生了边际分布（边际分布的密度是一种特殊的边际密度，当(s = t_0)时）。

这个表达式展示了密度与蝶式价差期权之间的直接关系。通过这种联系，我们可以检验密度函数的一些已知性质（非负性、积分等于 1）是否在金融市场中观察到的期权价格中得到满足。

2. 波动率的变化

2.1 时变波动率系数

布莱克 - 斯科尔斯模型的一个推广是规定一个时变波动率系数(\sigma(t))，而不是恒定的波动率。对数变换后的几何布朗运动（GBM）资产价格呈正态分布，在这种情况下，只需匹配前两阶矩就能保证分布相等。

通过匹配 GBM 过程和具有时变波动率的 GBM 的矩，我们可以确定在哪些条件下，具有时变波动率的模型和具有恒定波动率的模型具有相同的前两阶矩。这意味着，在具有时变波动率函数的布莱克 - 斯科尔斯模型下，欧洲期权的价值与基于以下时间平均恒定波动率函数的对数变换模型所得到的相应期权价值相同：
(\sigma^* = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sigma^2(t) dt})

因此，在具有时变波动率的 GBM 资产模型下对欧洲期权进行估值时，也可以使用如