28、金融中的随机局部波动率模型：理论与实践

金融中的随机局部波动率模型：理论与实践

1. 特征函数与Heston模型下的远期隐含波动率

1.1 特征函数推导

通过定义 $\hat{\alpha} := \bar{\kappa}(t, t_0)/(2(1 - 2u\bar{c}(t, t_0)))$，可以得到 $M_{v(t)}(u)$ 的表达式：
[
M_{v(t)}(u) = \left(\frac{1}{1 - 2u\bar{c}(t, t_0)}\right)^{\frac{1}{2}\delta} \exp\left(\frac{\bar{\kappa}(t, t_0)}{2(1 - 2u\bar{c}(t, t_0))} - \frac{\bar{\kappa}(t, t_0)}{2}\right) \sum_{k = 0}^{\infty} P[Y = k]
]
由于随机变量所有可能结果的概率之和为 1，所以有：
[
M_{v(t)}(u) = E_Q\left[e^{uv(t)}\mid\mathcal{F}(t_0)\right] = \left(\frac{1}{1 - 2u\bar{c}(t, t_0)}\right)^{\frac{1}{2}\delta} \exp\left(\frac{u\bar{c}(t, t_0)\bar{\kappa}(t, t_0)}{1 - 2u\bar{c}(t, t_0)}\right)
]
特征函数 $\varphi_x(u)$ 也随之完全确定：
[
\varphi_x(u) = \exp\left(\bar{A}(u, \tau) + r\tau + \frac{\bar{C}(u