29、随机局部波动率模型的蒙特卡罗模拟与应用

随机局部波动率模型的蒙特卡罗模拟与应用

1. 随机局部波动率模型的蒙特卡罗期望近似

在对随机局部波动率（SLV）模型进行蒙特卡罗评估时，首先通过欧拉离散化来模拟SLV模型。其模拟公式如下：
[
\begin{cases}
s_{i + 1, j} = s_{i, j} + rs_{i, j}\Delta t + \sqrt{\frac{\sigma_{LV}^2(t_i, s_{i, j})}{E[\bar{\xi}^2(v(t_i))|S(t_i) = s_{i, j}]}}s_{i, j}\bar{\xi}(v_{i, j})\sqrt{\Delta t}Z_x \
v_{i + 1, j} = v_{i, j} + a_v(t_i, v_{i, j})\Delta t + b_v(t_i, v_{i, j})\sqrt{\Delta t}Z_v
\end{cases}
]
其中，(j = 1, \cdots, N) 为蒙特卡罗路径的数量，(i = 0, \cdots, m) 为时间步数，(Z_x = Z_1)，(Z_v = \rho_{x, v}Z_1 + \sqrt{1 - \rho_{x, v}^2}Z_2)，(Z_1) 和 (Z_2) 是独立的标准正态变量，时间步长 (\Delta t = \frac{i \cdot T}{m})。

要确定下一个时间步 (t_{i + 1}) 的资产路径值，需要准确近似两个分量：(\sigma_{LV}^2(t_i, s_{i, j})) 和 (E[\bar{\xi}^2(v(t_i))|S(t_i) = s_{i, j}])。(\sigma_{LV}^2(t_i, s_{i, j})