86、基于数据拟合聚合函数的幂等化及相关方法研究

基于数据拟合聚合函数的幂等化及相关方法研究

在数据分析和机器学习领域，处理来自序数尺度的数据并构建合适的聚合函数是一个重要的问题。本文将探讨一种监督学习方法，用于处理这类数据并构建具有良好性质的模型。

1. 数据特征与问题提出

在某些情况下，四个变量的值均为 [0, 1] 区间内的实数，但它们映射到该区间的方式是任意的。最初，应将这些变量视为序数尺度而非区间尺度的值。常见的机器学习方法（如回归和分类）在这类数据上通常能较好地工作，但直接对原始输入构建聚合函数意义不大。

若能确定合适的严格单调变换函数 $\phi_1, \ldots, \phi_4 : [0, 1] \to [0, 1]$，就能对这些值进行归一化，使其具有可比性。例如，$x^{(j)}_1 = 0.5$ 和 $x^{(j)}_2 = 0.5$ 将表示相同的相似度水平，根据幂等性，聚合相似度也应为 0.5。并且，通过非递减性，可确保相似度水平的增加不会导致聚合相似度的降低，这是经典机器学习方法无法保证的约束条件。

因此，我们的目标是为给定数据集构建一个幂等化模型，具体是在加权向量 $w$ 的标准约束下，最小化以下式子：
$\sum_{j=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{n} w_i \tilde{x}^{(j)}_i - y^{(j)} \right)^2$
其中，$\tilde{x}^{(j)}_i = \phi_i(x^{(j)}_i)$，$\phi_1, \ldots, \phi_n : [0, 1]^n \to [0, 1]$ 是自动生成的单调连续函数。这使我们能够开发基于幂等聚合函数的回归（以及二元分类）模型，这些模型具有一些期望的代数性质，比经典