18、判断聚合：从不可能到可能的探索

判断聚合：从不可能到可能的探索

1. 判断聚合的基本概念与系统性质

在判断聚合中，有一个重要的性质叫做系统性（SYS）。如果矩阵P中的第j列和矩阵P′中的第k列由相同的0和1序列组成，那么这两个矩阵聚合判断中的第j个和第k个值是相同的。实际上，系统性（SYS）等价于独立性（IND）和中性（NEU）的结合。

从更抽象的角度看，如果聚合函数f是系统性的，那么它从每个矩阵中使用的唯一信息就是其对应的接受 - 拒绝矩阵。具体来说，存在一个函数g，对于由矩阵生成的每个0 - 1矩阵，它关联一个0 - 1值序列，使得对于任意公式ϕ：
[f(P_1, \ldots, P_n)(\phi) = g(P_1(\phi), \ldots, P_n(\phi))]

2. 一个不可能定理

2.1 定理内容

当议程是非简单的且具有偶数可否定性时，一个聚合函数满足一致性（U）和系统性（SYS），当且仅当它是某个个体的独裁。也就是说，在尊重一致性和系统性的情况下，不可能以非平凡的方式将个体判断聚合成集体判断。

2.2 证明过程

为了证明这个定理，我们需要引入一些重要的概念和引理。

2.2.1 获胜联盟

对于任何判断聚合结构和聚合函数，我们可以定义获胜联盟。对于议程中的任何元素ϕ，能始终迫使ϕ被集体接受的代理联盟被称为决定性或获胜联盟。

设对于任何矩阵P和公式ϕ，集合：
[P_{\phi} := {i \in N | P_i \models \phi}]
表示所有接受ϕ的代理的集合。那么，获胜联盟的定义如下：
定义：设