12、概率理论与随机变量的深入解析

概率理论与随机变量的深入解析

1. 广义贝叶斯定理

在概率的世界里，我们常常需要根据已知信息去推断未知事件发生的概率。这里有一个例子，假设集合 (A = { 2, 4 })，我们可以计算出 (P(A) = \frac{1}{3})。同时，对于不同的集合 (E_1)、(E_2)、(E_3)，有 (A \cap E_1 = { 2 })，(A \cap E_2 = { 4 })，(A \cap E_3 = \varnothing)。通过特定的公式（Eq. 1.27），我们能算出条件概率：
- (P(A|E_1) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3})
- (P(A|E_2) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2})
- (P(A|E_3) = 0)

进一步地，我们可以验证 (\sum_{i = 1}^{3} P(A|E_i)P(E_i) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} = P(A))。

基于这些计算，我们引出广义贝叶斯定理。设 ({ E_1, E_2, \ldots | E_i \in \mathcal{A} }) 是 (\Omega) 的一个有限或可数划分。对于任意 (A \in \mathcal{A}) 且 (P(A) > 0) 以及任意 (m \geq 1)，有 (P(E_m|A) = \frac{P(A|E_m)P(E_m)}{\sum_{i} P(A|E_i)P(E_i)})。这个定理的证明基于贝叶斯