8、数据插值方法与实现

数据插值方法与实现

1. 牛顿插值法概述

给定一组数据点 $(x_j, f(x_j))$，$j = 0, \cdots, n$，目标是找到一个次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n(x)$，使得 $P_n(x_j) = f(x_j)$ 对所有 $j = 0, \cdots, n$ 都成立。拉格朗日插值多项式在计算上存在问题，因为无法通过 $L_i(x)$ 迭代得到 $L_{i + 1}(x)$，导致算法复杂度较高。而牛顿插值多项式则是拉格朗日多项式的一种替代方法。

2. 牛顿插值法的具体实现

2.1 方法描述

牛顿插值法采用迭代技术，从一个常数多项式 $P_0(x)$ 开始，逐步计算出次数为 $k$（$1 \leq k \leq n$）的多项式 $P_k(x)$。
- 初始多项式 ：$P_0(x) = c_0 = f(x_0)$
- 迭代公式 ：$P_k(x) = P_{k - 1}(x) + c_k \prod_{j = 0}^{k - 1} (x - x_j)$

其中，常数 $c_k$ 通过将数据点 $(x_k, f(x_k))$ 代入 $P_k(x)$ 的方程来确定，以满足 $P_k(x_j) = f(x_j)$，$j = 0, \cdots, n$。

牛顿插值多项式的形式为：$P_k(x) = c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + c_k(x - x_0) \cdots (x - x_{k - 1})$

以下是 MATLA