27、基于同态的配对友好群幂运算优化

基于同态的配对友好群幂运算优化

1. 高维自然分解与弗罗贝尼乌斯应用

在某些情况下，高维自然分解是可行的。对阶为 $r$ 的元素 $x$ 应用弗罗贝尼乌斯映射，可得 $x^p \equiv x^{t - 1}$。因此，指数 $n$ 可以表示为以 $(t - 1)$ 为基的形式，进而进行多指数运算，如 $x^{n_0} \cdot (x^p)^{n_1} \cdot (x^{p^2})^{n_3} \cdots$。

2. $G_2$ 上的同态

$G_2$ 是 $E’(F_{p^e})$ 的子群，存在群同态 $\varphi : E’(F_{p^e}) \to E(F_{p^k})$。下面介绍如何利用 $E(F_{p^k})$ 上的 $p$ - 幂弗罗贝尼乌斯映射得到 $G_2$ 上可高效计算的群同态。

设 $\pi_p$ 为 $E$ 上的 $p$ - 幂弗罗贝尼乌斯映射，定义 $\psi = \varphi^{-1} \pi_p \varphi$，则 $\psi$ 是 $E’$ 的一个自同态，且 $\psi : G_2 \to G_2$。对于 $Q \in G_2$，有 $\psi^k(Q) = Q$，$\psi(Q) = pQ$，以及 $\Phi_k(\psi)(Q) = \infty$，其中 $\Phi_k(x)$ 是第 $k$ 个分圆多项式。

若 $e = 1$，则 $\psi$ 等于 $\rho \pi’_p$，其中 $\pi’_p$ 是 $E’$ 上的 $p$ - 幂弗罗贝尼乌斯映射，$\rho$ 是 $Aut(E’)$ 中的元素。这表明当 $e = 1$ 时，该方法没有新的结果，但随机指数的分解比一般的 GLV 情况更简单。而