16、计算Kolyvagin类上的Cassels配对

计算Kolyvagin类上的Cassels配对

1. 判定局部平凡性的算法

类 $d_{n,M}$ 的一个基本性质是，除了位于 $n$ 的素因子之上的位置外，它在所有位置都是局部平凡的。用 $res_v$ 表示限制映射 $res_v: H^1(K, E) \to H^1(K_v, E)$ ，有如下命题：
- 命题1 ：
- (i) 若 $v$ 是 $K$ 的一个位置，满足 $v \nmid n$ ，或者 $v = \infty$ 是阿基米德位置，则 $res_v(d_{n,M}) = 0$ 。
- (ii) 若 $\lambda$ 是 $K$ 中位于 $n$ 的素因子 $\ell$ 之上的一个位置，则 $res_{\lambda}(d_{n,M}) = 0$ 当且仅当对于 $K_{n/\ell}$ 中整除 $\lambda$ 的一个（从而所有）位置 $\lambda’$ ，有 $P_{n/\ell} \in pM E(K_{n/\ell},\lambda’)$ 。这里，$K_{n/\ell},\lambda’$ 表示 $K_{n/\ell}$ 在 $\lambda’$ 处的完备化。

下面的标准引理将用于提供一个判定点是否可除的算法：
- 引理1 ：设 $F$ 是任意数域，$F_v$ 是 $F$ 在非阿基米德位置 $v$ 处的完备化。设 $E$ 是 $F_v$ 上具有好约化的椭圆曲线，$m$ 是与剩余域 $k_v$ 的特征互素的整数，则有：
1. $E(F_v)/mE(F_v) \cong \tilde{E}(k_v)/m \tilde{E}(k_v)$ ；
2. $