9、空间有界散射机的计算能力分析

空间有界散射机的计算能力分析

在计算理论中，散射机是一种重要的计算模型，它在不同精度和协议下的计算能力有着独特的性质。本文将深入探讨空间有界散射机在标准协议和广义协议下的上下界计算能力。

1. 标准协议下的上界

为了确定散射机在标准协议下的上界，需要在神谕图灵机中直接模拟散射机。这就需要实现一种方法，用于比较大小为 $n$ 的二进有理数 $q \in ]0, 1[$ 与实数 $b \in ]0, 1[$（均为二进制形式）。图灵机可以通过逐位比较来判断 $q \leq b$ 或 $q \geq b$，但可能无法区分严格和非严格不等式。不过，如果知道 $b = b⇃n$、$b = b⇃n + 2^{-n}$ 或者都不满足，就可以判断 $q < b$、$q > b$ 或 $q = b$。

以下是不同类型散射机在标准协议下的上界命题：
- 命题 13（标准无误差 ShSM） ：如果集合 $A \subseteq \Sigma^{\star}$ 可由多项式空间有界的无误差 ShSM 判定，那么 $A \in PSPACE/poly$。
- 证明步骤 ：
1. 设 $M$ 是一个多项式空间有界 $p$ 的无误差 ShSM，它在顶点位置 $y$ 判定 $A$。
2. 考虑神谕图灵机 $M’$，对于输入 $w$（$|w| = n$），它查询神谕 $Op_y$ 以获得长度为 $p(n) + n + 1$ 的单词 “o”。
3. $M’$ 使用 “o” 回答查询并模拟 $M$ 在 $w$ 上的操作。
4. 由于 $M$ 只能在查询带上写入长度 $|q|