8、空间有界散射机的计算能力分析

空间有界散射机的计算能力分析

1. 散射机的模拟与概率计算

在研究散射机的计算能力时，我们可以使用神谕图灵机直接模拟散射机。对于每次对神谕的调用，我们预先知道神谕可能给出的答案的概率。

1.1 精确情况

当精度固定为 $\xi = 2^{-N}$ 时，顶点位置 $y_d$ 是二进数且在精度区间内。答案为左和右的概率分别对应于 $\frac{y_d - (z - \xi)}{2\xi}$ 和 $\frac{z + \xi - y_d}{2\xi}$。因此，模拟神谕调用时，我们可以简单地模拟一个概率为 $\frac{y_d - (z - 2^{-N})}{2^{-N + 1}}$ 的事件。即使 $y_d$ 不是二进数，这些表达式仍然有效，但此时概率计算较为困难。

1.2 平滑情况

在平滑情况下，如果我们知道至少一个边界数在精度区间内，就可以模拟一个有三种可能结果的事件，每种结果都具有二进概率。实际上，抛一枚公平的硬币可以模拟任何二进概率的事件，所需时间为 $n$ 个单位，其中 $n$ 来自二进概率 $\frac{k}{2^n}$（$0 \leq k \leq 2^n$）。

2. 标准散射机的计算能力

2.1 概率树

在使用易出错协议时，精确和平滑散射机使用线性搜索算法来近似顶点位置。对于精确散射机（ShSM），每次搜索算法运行后，图灵机处于状态 $q_r$ 或 $q_l$，这取决于粒子被右盒还是左盒收集，因此 ShSM 的神谕咨询可以看作是一个二叉查询树。对于平滑散射机（SmSM），存在第三种状态 $q_t$ 表示在预定时间内没有结果，其神谕咨询表示为一个三叉查询树。我