15、贝叶斯估计：原理、应用与实战

贝叶斯估计：原理、应用与实战

1. 引言

在统计学和机器学习中，贝叶斯估计是一种强大的工具，它允许我们结合先验信息和样本数据来进行参数估计。与最大似然估计将参数视为未知常数不同，贝叶斯估计将参数看作具有先验分布的随机变量。

1.1 贝叶斯估计的基本概念

当我们对某个参数有先验信息时，贝叶斯估计就非常有用。例如，在估计一个分布的均值 μ 之前，我们可能有先验信念认为它接近 2，且在 1 到 3 之间。这种先验信念在样本较小时尤为重要，因为它可以帮助我们更准确地估计参数。

贝叶斯估计的核心是贝叶斯规则，它将先验分布和样本似然结合起来，计算后验概率分布：
[p(\theta|X) = \frac{p(\theta)p(X|\theta)}{p(X)}]
其中，(p(\theta)) 是先验密度，(p(X|\theta)) 是样本似然，(p(X)) 是归一化因子，确保后验概率分布积分等于 1。

1.2 贝叶斯估计的应用场景

贝叶斯估计可以用于各种类型的分布和应用，包括估计分布的参数、估计模型的参数以及高斯过程。以下是一个简单的流程图，展示了贝叶斯估计的基本流程：

graph LR
    A[先验分布 p(θ)] --> B[样本似然 p(X|θ)]
    B --> C[后验分布 p(θ|X)]
    C --> D[预测分布 p(x|X)]

2. 估计分布的参数

2.1 离散变量

假设每个实例是一个多项分布变