31、时间序列形状关联模式中的上下趋势关联与无监督局部最优链接学习

时间序列形状关联模式中的上下趋势关联与无监督局部最优链接学习

1. 上下趋势关联

上下趋势关联度量定义如下：在 MAP 变换和趋势关联度量中，将趋势值 $a_i$ 替换为其符号值 $A_i = sign(a_i)$。这些值被称为上下趋势，简称为 UD - 趋势。对于给定的时间序列 $y$，MAP 变换将被 UD - 趋势序列所取代：
$UDT_k(y) = (A_{y1}, …, A_{ym})$

从相关公式可得：
$A_i = sign(\sum_{j = 0}^{k - 1} (y_{i + j + 1} - y_{i + j}))$

原公式将被替换为：
$S_{UDk}(y,x)=\frac{\sum_{i = 1}^{m} A_{yi}A_{xi}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{m} A_{yi}^2 \sum_{i = 1}^{m} A_{xi}^2}}$

需要注意的是，在上述公式中所有 $A_i$ 的取值都来自集合 ${-1, 0, 1}$。

当 $k = 2$ 时，$S_{UD2}$ 记为 $S_{UD}$，斜率值计算如下：
$A_i = sign(y_{i + 1} - y_{i})$

此时，上下趋势序列形式为：
$UDT(y) = (A_{y1}, …, A_{y(n - 1)})$

假设 $g$ 是实数集上的严格单调递增函数，即若 $u < v$，则 $g(u) < g(v)$。定义时间序列集 $T_n$ 上的严格单调变换 $G$ 为：
$G(y) = (g(y_1), …, g(y_n))$ </