11、参与约束的矩阵表示：理论与应用

参与约束的矩阵表示：理论与应用

在数据库设计领域，矩阵表示是一种广受欢迎的工具，特别是在基于示例的数据库设计中。它能够帮助设计师更好地理解和呈现数据库所捕捉的现实世界情况，同时识别设计中的遗漏和错误。然而，矩阵表示并非总是可行的，需要满足一定的条件。本文将深入探讨参与约束的矩阵表示，包括其基本概念、推理规则、表示图以及主要结果，并对一些相关问题进行讨论。

矩阵表示的基本概念

矩阵表示最初是针对函数依赖进行研究的。函数依赖是一种约束条件，用 $X → Y$ 表示，其中 $X$ 和 $Y$ 是 $\Omega$ 的非空子集。在数据库关系 $R$ 中，如果任意两行在 $X$ 列上的值相同，那么它们在 $Y$ 列上的值也相同，则该函数依赖成立。

阿姆斯特朗（Armstrong）观察到，函数依赖的闭集对应于 $\Omega$ 上的闭包操作，并证明了每个函数依赖的闭集都允许有矩阵表示。德梅特罗维奇（Demetrovics）和杰佩西（Gyepesi）进一步证明，在最坏情况下，一组函数依赖的阿姆斯特朗关系的最小大小 $s$ 满足不等式：
$\frac{1}{n^2}\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} < s \leq (1 + \frac{c}{\sqrt{n}})\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$
其中 $c$ 是一个合适的常数，$n = |\Omega|$。

当函数依赖为 $X → \Omega$ 时，称为键依赖，$X$ 被称为键。键依赖是广义参与约束的一种特殊情况，其中 $b = 1$。德梅特罗维奇还指出，最小键的集合是 $\Omega$ 上的斯佩纳族，即最小键之间互不包含。同样，每个键依赖