23、量子纠错与容错计算及相关算法分析

量子纠错与容错计算及相关算法分析

1. 量子纠错码

在量子计算中，为了保护量子信息免受错误干扰，量子纠错码发挥着关键作用。存在一种更为紧凑的码，仅使用 5 个量子比特，通过以下算子来定义：

X ⊗ Z ⊗ Z ⊗ X ⊗ I ,
I ⊗ X ⊗ Z ⊗ Z ⊗ X ,
X ⊗ I ⊗ X ⊗ Z ⊗ Z ,
Z ⊗ X ⊗ I ⊗ X ⊗ Z ,
Z ⊗ Z ⊗ X ⊗ I ⊗ X .

可以证明，要抵御一般的单量子比特错误，使用少于 5 个量子比特是无法实现的。

2. 容错量子计算

2.1 电路错误分析

考虑一个包含 S 个门的电路。若电路中的各个门独立地以概率 p 引入非相干错误，那么电路输出端的预期错误数为 Sp。电路输出端至少出现一个错误的概率至多为 Sp。若所有错误都是相干的，此概率则为 S²p。为了方便分析，我们假设错误是非相干的，但通过跟踪错误的概率振幅而非概率，也可以对相干错误进行类似的分析。

2.2 量子纠错的方法

若要利用量子纠错码在量子信息通过电路传播时保护它，有以下两种方法：
- 方法一 ：在电路开始时对信息进行编码，然后在每个门操作之前解码状态，应用门操作，再重新编码状态。然而，在解码和重新编码之间，门仍可能以概率 p 产生错误，这种方法仅能保护信息免受门之间出现的错误影响。
- 方法二 ：设计能直接作用于编码状态的门，并且要以容错的方式实现。对于给定的纠错码，若一个