23、量子纠错与容错计算：原理、方法与挑战

量子纠错与容错计算：原理、方法与挑战

1. 单量子比特错误分析

在量子计算中，单量子比特可能出现的（幺正）错误是我们首先要研究的内容。我们来看附录A.9中的四个泡利矩阵：
[
I =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix},
X =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \
1 & 0
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
0 & -i \
i & 0
\end{pmatrix},
Z =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & -1
\end{pmatrix}
]
这些矩阵可以被解释为可能出现的错误情况：$I$ 对应无错误，$X$ 是比特翻转错误，$Z$ 是相位翻转错误，而 $Y = iXZ$ 是先进行相位翻转错误再进行比特翻转错误（其中全局相位 $i$ 并不影响结果）。这四个矩阵张成了所有可能的 $2×2$ 矩阵空间，所以单量子比特上的每一个可能的错误操作 $E$ 都可以表示为这四个泡利矩阵的线性组合，即 $E = α_0I + α_1X + α_2Y + α_3Z$。更一般地，每个 $2^k × 2^k$ 矩阵都可以唯一地写成 $k$ 个泡利矩阵张量积的线性组合。

例如，给 $|1⟩$ 加上一个小相位 $\varphi$ 的错误：
[
E =
\begin{pmatrix}