11、具有超多项式加速的量子算法

具有超多项式加速的量子算法

1. 超多项式加速算法概述

在量子计算领域，存在一类量子算法，它们解决问题的复杂度比已知最佳经典算法的复杂度有超多项式的降低。也就是说，已知最佳经典算法的复杂度无法用任何关于量子算法复杂度的多项式来上界界定。本文将详细介绍的算法都利用了量子傅里叶变换（QFT）。

2. 量子相位估计与量子傅里叶变换

2.1 相位估计的引入

在Deutsch算法和Deutsch - Jozsa算法中，最后的Hadamard门用于获取编码在状态相对相位中的信息。Hadamard门是自逆的，它也可以将信息编码到相位中。
- 对于单比特情况，当$H$作用于基态$|x\rangle$（$x \in {0, 1}$）时：
- $H|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{(-1)^x}{\sqrt{2}}|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{y\in{0,1}} (-1)^{xy}|y\rangle$
- 这里Hadamard门将$x$的值编码到了基态$|0\rangle$和$|1\rangle$之间的相对相位中。再对结果应用Hadamard门，可得到$|x\rangle$，即解码信息。
- 对于$n$比特情况，$H^{\otimes n}$作用于$n$比特基态$|x\rangle$时：
- $H^{\otimes n}|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{y\in{0,1}^n} (-1)^{x\cdot y}|y\rangle$
- 同样，$n$比特Hadamard变