12、超多项式加速算法与量子计算中的关键技术

超多项式加速算法与量子计算中的关键技术

在量子计算领域，超多项式加速算法是实现高效计算的重要手段。本文将深入探讨量子相位估计、量子傅里叶变换以及特征值估计等关键技术，介绍它们的原理、应用及相关算法。

量子相位估计与量子傅里叶变换

相位估计算法

相位估计算法是量子计算中的重要工具，它能以至少 (1 - \frac{1}{2(k - 1)}) 的概率输出 (\omega) 最接近的 (2^k) 个整数倍的 (\frac{1}{2^n}) 之一。当参数 (n = m) 时，根据计算高阶相移的内在成本，这可能是一种更高效的算法。

例如，通过 (O(\log^2(r))) 次相位估计（(n = m)）并取出现次数最多的结果作为相位 (\omega) 的估计值 (\tilde{\omega})，可以保证以至少 (1 - \frac{1}{2r}) 的概率使误差 (|\omega - \tilde{\omega}| \leq \frac{1}{2^m})。

周期性状态

周期性状态是量子计算中值得研究的对象。周期性叠加态的形式为 (|\varphi_{r,b}\rangle = \frac{1}{\sqrt{m}} \sum_{z = 0}^{m - 1} |zr + b\rangle)，其中 (r) 为周期，(b) 为位移，(m) 为周期的重复次数。

考虑给定 (mr) 求周期性状态周期 (r) 的问题：
- 输入 ：整数 (mr) 和一个生成量子态 (|\varphi_{r,b}\rangle) 的黑盒，其中 (b) 从 ({0, 1, \ldots, r